Determine d yd x por derivação implícita.
y^2 e^2 x+x y^3=1

Passo 1

O enunciado pede a derivada dydx de uma relação implícita
y^2e^2x + x,y^3 = 1
Para resolver, vamos usar regras de derivação implícita, aplicando produto e cadeia.

Passo 2

Derivamos cada termo em relação a x, lembrando que y=y(x) e portanto d y/dx=y'.
— Para y^2e^2x, aplicamos produto e cadeia:
ddxl(y^2e^2xr) = d(y^2)dx,e^2x + y^2,d(e^2x)dx = (2y,y')e^2x + y^2cdot 2e^2x = 2y,y',e^2x + 2y^2e^2x
— Para x,y^3, também produto:
ddxl(x,y^3r) = 1cdot y^3 + xcdot 3y^2y' = y^3 + 3x,y^2y'
Derivando o lado direito 1 0.

Passo 3

Somando as derivadas e igualando a zero:
l(2y,y'e^2x + 2y^2e^2xr) + l(y^3 + 3x,y^2y'r)=0
Agrupamos os termos que contêm y' e os que não contêm:
2y,y'e^2x + 3x,y^2y' + l(2y^2e^2x + y^3r)=0

Passo 4

Isolamos y':
y'l(2y,e^2x + 3x,y^2r) = -l(2y^2e^2x + y^3r)

Passo 5

Dividimos para obter y':
y' = -2y^2e^2x + y^32y,e^2x + 3x,y^2 = -y^2(2e^2x + y)y,(2e^2x + 3x,y) = -y,(2e^2x + y)2e^2x + 3x,y

Resposta

dydx = -2y^2e^2x + y^32y,e^2x + 3x,y^2 = -y,(2e^2x + y)2e^2x + 3x,y

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