Seja
o espaço de matrizes
. Considere
a aplicação tal que
. (a) Mostre que
é transformação linear e (b) Mostre que o núcleo de
é o espaço de matrizes anti-simétricas.
Passo 1
O enunciado diz que
é o espaço de todas as matrizes
sobre um corpo (por exemplo,
) e que a aplicação
é dada por
O que precisamos mostrar é:
- Que
é transformação linear (i.e., preserva soma e multiplicação por escalar). - Que
— o conjunto de todas as matrizes que vão em — coincide exatamente com o espaço das matrizes anti-simétricas, isto é, aquelas que satisfazem .
Passo 2
Para provar que
é linear, verificamos duas propriedades: soma e multiplicação por escalar. Seja
e
um escalar. Então
e
Logo,
preserva soma e escalar, ou seja, é transformação linear.
Passo 3
Por definição,
A condição
equivale a
As matrizes que satisfazem
são exatamente as matrizes anti-simétricas. Portanto
i.e., o espaço das matrizes anti-simétricas.
Resposta
(a)
é linear porque preserva soma e multiplicação por escalar conforme mostrado.
(b) , o espaço de todas as matrizes anti-simétricas.
(b)