Seja M o espaço de matrizes n \times n. Considere P: M \longrightarrow M a aplicação tal que P(A)=\frac{A+A^{T}}{2}. (a) Mostre que P é transformação linear e (b) Mostre que o núcleo de P é o espaço de matrizes anti-simétricas.

Passo 1

O enunciado diz que M é o espaço de todas as matrizes n\times n sobre um corpo (por exemplo, \mathbb{R}) e que a aplicação P: M \to M é dada por
P(A) \;=\; \frac{A + A^T}{2}.
O que precisamos mostrar é:
  1. Que P é transformação linear (i.e., preserva soma e multiplicação por escalar).
  2. Que \ker(P) — o conjunto de todas as matrizes que vão em 0 — coincide exatamente com o espaço das matrizes anti-simétricas, isto é, aquelas que satisfazem A^T = -A.

Passo 2

Para provar que P é linear, verificamos duas propriedades: soma e multiplicação por escalar. Seja A,B\in M e c um escalar. Então
P(A + B) = \frac{(A + B) + (A + B)^T}{2} = \frac{A + B + A^T + B^T}{2} = \frac{A + A^T}{2} + \frac{B + B^T}{2} = P(A) + P(B),
e
P(cA) = \frac{cA + (cA)^T}{2} = \frac{cA + cA^T}{2} = c\,\frac{A + A^T}{2} = c\,P(A).
Logo, P preserva soma e escalar, ou seja, é transformação linear.

Passo 3

Por definição,
\ker(P) = \{\,A\in M \mid P(A)=0\}.
A condição P(A)=0 equivale a
\frac{A + A^T}{2} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A + A^T = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A^T = -A.
As matrizes que satisfazem A^T=-A são exatamente as matrizes anti-simétricas. Portanto
\ker(P) = \{\,A\in M \mid A^T = -A\},
i.e., o espaço das matrizes anti-simétricas.

Resposta

(a) P é linear porque preserva soma e multiplicação por escalar conforme mostrado.
(b) \ker(P)=\{A\in M: A^T=-A\}, o espaço de todas as matrizes anti-simétricas.

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