Sejam
e
vetores de
tais que
e
. Demostrar que
é uma base de
. Determinar as coordenadas do vetor (
) em relação à base ordenada
.
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores
em
tais que
O objetivo é mostrar que
é base de
e, em seguida, expressar o vetor
nas coordenadas de
. Para isso, vamos usar propriedades de produto interno: ortogonalidade implica independência linear e projeção de vetores.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que
Fazendo o produto interno de ambos os lados com
, obtemos
Como o lado direito é
, segue
. De modo análogo, projetando em
temos
implicando
. Portanto
e
são linearmente independentes.
Passo 3
Em
, qualquer conjunto de dois vetores linearmente independentes forma uma base. Logo
é base de
.
Passo 4
Para escrever
na base
buscamos escalares
tais que
Aplicando produto interno com
e usando ortogonalidade e norma unitária, obtemos
De modo igual, tomando produto interno com
: