Sejam u=\left(x_{1}, x_{2}\right) e v=\left(y_{1}, y_{2}\right) vetores de \mathbb{R}^{2} tais que x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}=0 e x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=1. Demostrar que \beta=\{u, v\} é uma base de \mathbb{R}^{2}. Determinar as coordenadas do vetor ( a, b ) em relação à base ordenada \beta=\{u, v\}.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores
u=(x_{1},x_{2}),\quad v=(y_{1},y_{2})
em \mathbb{R}^2 tais que
\langle u,v\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}=0 \quad\text{e}\quad \|u\|^2=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1,\;\|v\|^2=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=1.
O objetivo é mostrar que \beta=\{u,v\} é base de \mathbb{R}^2 e, em seguida, expressar o vetor w=(a,b) nas coordenadas de \beta. Para isso, vamos usar propriedades de produto interno: ortogonalidade implica independência linear e projeção de vetores.

Passo 2

Suponha que existam escalares c_{1},c_{2} tais que
c_{1}\,u + c_{2}\,v = 0.
Fazendo o produto interno de ambos os lados com u, obtemos
\langle c_{1}u + c_{2}v,\;u\rangle = c_{1}\langle u,u\rangle + c_{2}\langle v,u\rangle = c_{1}\cdot1 + c_{2}\cdot0 = c_{1}.
Como o lado direito é \langle0,u\rangle=0, segue c_{1}=0. De modo análogo, projetando em v temos
\langle c_{1}u + c_{2}v,\;v\rangle = c_{1}\langle u,v\rangle + c_{2}\langle v,v\rangle = 0 + c_{2}\cdot1 = c_{2},
implicando c_{2}=0. Portanto u e v são linearmente independentes.

Passo 3

Em \mathbb{R}^2, qualquer conjunto de dois vetores linearmente independentes forma uma base. Logo \beta=\{u,v\} é base de \mathbb{R}^2.

Passo 4

Para escrever w=(a,b) na base \beta buscamos escalares \alpha,\;\beta tais que
w = \alpha\,u + \beta\,v.
Aplicando produto interno com u e usando ortogonalidade e norma unitária, obtemos
\langle w,u\rangle = \alpha\,\langle u,u\rangle + \beta\,\langle v,u\rangle = \alpha\cdot1 + \beta\cdot0 = \alpha \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \langle w,u\rangle = a\,x_{1}+b\,x_{2}.
De modo igual, tomando produto interno com v:
\langle w,v\rangle = \alpha\,\langle u,v\rangle + \beta\,\langle v,v\rangle = 0 + \beta\cdot1 = \beta \quad\Longrightarrow\quad \beta = \langle w,v\rangle = a\,y_{1}+b\,y_{2}.

Resposta

\beta=\{u,v\} é base de \mathbb{R}^2, e as coordenadas de (a,b) na base ordenada \beta são
\bigl(\alpha,\beta\bigr) = \bigl(a\,x_{1} + b\,x_{2},\;a\,y_{1} + b\,y_{2}\bigr).

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