Dados x_{1}=(1,1,1) e x_{2}=(3,-1,4) :
(a) x_{1} e x_{2} geram \mathrm{R}^{3} ? Explique
(b) Seja x_{3} um terceiro vetor em \mathbb{R}^{3} e seja M=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right). Que condições M deve satisfazer para que x_{1}, x_{2} e x_{3} formem uma base para \mathbb{R}^{3} ?
(c) Encontre um terceiro vetor x_{3} que estenderá o conjunto \left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\} para uma base para o \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3,
x_1 = (1,1,1),\quad x_2 = (3,-1,4),
e pede:
(a) verificar se \{x_1,x_2\} gera \mathbb{R}^3;
(b) quais condições um terceiro vetor x_3 deve satisfazer para que \{x_1,x_2,x_3\} seja base de \mathbb{R}^3;
(c) encontrar um exemplo de x_3 que estenda \{x_1,x_2\} a uma base.
O conteúdo utilizado será: noções de geração, independência linear e determinante de matriz.

Passo 2

Duas observações básicas em \mathbb{R}^3:
  1. O espaço \mathbb{R}^3 tem dimensão 3, logo qualquer conjunto que gere \mathbb{R}^3 deve ter, no mínimo, 3 vetores.
  2. Qualquer conjunto de apenas 2 vetores em \mathbb{R}^3 só pode gerar um subespaço de dimensão, no máximo, 2.
    Portanto, \{x_1,x_2\} não gera todo \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para que \{x_1,x_2,x_3\} seja base de \mathbb{R}^3, é necessário e suficiente que esses três vetores sejam linearmente independentes. Em termos da matriz
M = \bigl(x_1,\;x_2,\;x_3\bigr)
cuja coluna i é x_i, isso equivale a exigir
\det(M)\neq 0.
Quando \det(M)\neq 0, as colunas são independentes e geram \mathbb{R}^3.

Passo 4

Escolhemos, por exemplo,
x_3 = (0,0,1).
Então
M = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
Calculamos
\det(M) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&0\\\ 4&1\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots) = 1\cdot(-1\cdot1-0\cdot4) -3\cdot(1\cdot1-0\cdot1) = -1 -3 = -4\neq 0.
Logo, \{x_1,x_2,x_3\} é independente e gera \mathbb{R}^3, isto é, forma base.

Resposta

(a) Não; dois vetores não podem gerar \mathbb{R}^3 porque a dimensão é 3.
(b) A matriz M=(x_1,x_2,x_3) deve satisfazer \det(M)\neq0, garantindo independência linear e geração de \mathbb{R}^3.
(c) Um exemplo é x_3=(0,0,1), pois nessa escolha \det(M)=-4\neq0.

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