Dado \mathbb{R}^{2}, determinar se os seguintes subconjuntos são subespaços de \mathbb{R}^{2}.
$ T=\left\{(x, y) \quad\right. tal que, \left. \frac{1}{2} x+y=x-\frac{1}{2} y\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
T = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid \tfrac12x + y = x - \tfrac12y\}
é um subespaço de \mathbb{R}^2. O conteúdo envolve testar as condições de subespaço (não vazio, fechado sob soma e produto escalar) ou mostrar que T pode ser escrito como o span de um vetor.

Passo 2

Vamos simplificar a equação que define T. Partindo de
\tfrac12x + y = x - \tfrac12y,
subtraindo x de ambos os lados e somando \tfrac12y obtemos
\tfrac12x - x + y + \tfrac12y = 0 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac12x + \tfrac32y = 0.
Multiplicando por 2 dá
-x + 3y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 3y.

Passo 3

Da relação x=3y segue que todo ponto de T tem a forma
(x,y) = (3y,y) = y\,(3,1).
Seja t=y. Então
T = \{(3t,t)\mid t\in\mathbb{R}\} = \{\,t\,(3,1)\mid t\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{(3,1)\}.

Passo 4

Como T é o span de (3,1), ele contém a origem t=0 e é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Portanto, T satisfaz as condições de subespaço de \mathbb{R}^2.

Resposta

T é um subespaço de \mathbb{R}^2.

Exercícios relacionados