Seja M \in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}) uma matriz invertível cujas entradas são números inteiros. Mostre que M^{-1} possui entradas racionais. Além disso, mostre que M^{-1} possui entradas inteiras se, e somente se, \operatorname{det}(M)= \pm 1.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: M\in\mathbb{M}_n(\mathbb{R}) é invertível e todas as entradas de M são inteiros (ou seja, cada elemento m_{ij}\in\mathbb{Z}).
  • Pede-se:
    1. Mostrar que as entradas de M^{-1} são números racionais.
    2. Mostrar que as entradas de M^{-1} são inteiras se, e somente se, \det(M)=\pm 1.
Vou usar apenas as informações acima; a resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Propriedade importante sobre determinantes de matrizes com entradas inteiras.
Explicação/mini-aula: a definição por permutações dá uma fórmula explícita da determinante. Para M=(m_{ij}) temos
\det(M)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n} m_{i,\sigma(i)}.
Cada produto \prod_{i=1}^{n} m_{i,\sigma(i)} é um produto de inteiros, logo é inteiro; a soma finita de inteiros é inteira. Portanto, se todas as entradas de M são inteiras então
\det(M)\in\mathbb{Z}.
Observação: isto é básico e útil — determinante de matriz inteira é inteiro.

Passo 3

Definição de menor, cofator e matriz adjunta (adjugate), e por que seus elementos são inteiros.
Mini-aula: para cada par (i,j) defina M_{ij} como a matriz (n-1)\times(n-1) obtida de M eliminando a linha i e a coluna j. O cofator C_{ij} é
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
A matriz cofatórica (com entradas C_{ij}) tem por transposta a matriz adjunta \operatorname{adj}(M); isto é, a entrada (i,j) de \operatorname{adj}(M) é C_{ji}.
Como M_{ij} é uma matriz com entradas inteiras (submatriz de M), pela mesma razão do Passo 2 temos \det(M_{ij})\in\mathbb{Z}. Logo cada C_{ij}\in\mathbb{Z}. Portanto todas as entradas de \operatorname{adj}(M) são inteiras:
\operatorname{adj}(M)\in\mathbb{M}_n(\mathbb{Z}).

Passo 4

Identidade fundamental que liga M, \operatorname{adj}(M) e \det(M).
Mini-aula: existe a identidade clássica
M\operatorname{adj}(M)=\operatorname{adj}(M)M=\det(M)I_n,
onde I_n é a matriz identidade de ordem n. Uma maneira curta de ver isso é olhar para a entrada (i,j) do produto M\operatorname{adj}(M): ela é \sum_{k=1}^n m_{ik}C_{jk}. Se i=j essa soma é exatamente a expansão de \det(M) pela linha i; se i\neq j então a soma corresponde a determinante de uma matriz com duas linhas iguais, que é zero. Isso dá a igualdade acima.

Passo 5

Fórmula do inverso usando a adjunta e conclusão imediata sobre racionalidade.
Da identidade do Passo 4, como M é invertível e \det(M)\neq 0, multiplicando ambos os lados por \dfrac{1}{\det(M)} obtemos a fórmula conhecida
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\operatorname{adj}(M).
Agora, do Passo 2 sabemos que \det(M)\in\mathbb{Z} e do Passo 3 sabemos que \operatorname{adj}(M) tem entradas inteiras. Logo cada entrada de M^{-1} é uma razão de dois inteiros (entrada da adjunta dividida por \det(M)), isto é, cada entrada de M^{-1} é um número racional. Assim mostramos a primeira afirmação pedida.

Passo 6

Preparação para a parte “se, e somente se”: lembrar propriedade de determinante de matriz inteira.
Mini-aula curta: se uma matriz tem todas as entradas inteiras, então sua determinante é inteiro (já mostrado no Passo 2). Em particular, se A\in\mathbb{M}_n(\mathbb{Z}) então \det(A)\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Direção (⇒): se M^{-1} tem entradas inteiras então \det(M)=\pm1.
Prova: suponha \!M^{-1}\in\mathbb{M}_n(\mathbb{Z}). Então pela observação do Passo 6 temos \det(M^{-1})\in\mathbb{Z}. Mas \det(M^{-1})=\dfrac{1}{\det(M)}. Também do Passo 2 temos \det(M)\in\mathbb{Z}. Assim \det(M) é um inteiro cujo inverso é também inteiro. O único inteiro que tem inverso inteiro é \pm 1. Logo \det(M)=\pm 1.
Comentário intuitivo: se \det(M) fosse, por exemplo, 2, então \det(M^{-1})=1/2 não é inteiro; isso contradiria M^{-1} inteiro.

Passo 8

Direção (⇐): se \det(M)=\pm 1 então M^{-1} tem entradas inteiras.
Prova: suponha \det(M)=\pm 1. Pelo Passo 3 sabemos que \operatorname{adj}(M) tem entradas inteiras. Usando a fórmula do Passo 5,
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\operatorname{adj}(M).
Como \det(M)=\pm 1, dividir inteiros por \pm 1 dá inteiros. Portanto todas as entradas de M^{-1} são inteiras. Isso conclui a direção contrária.

Passo 9

Resumo final e um exemplo rápido para fixar a intuição.
Exemplo simples: M=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&2\end{pmatrix} tem entradas inteiras e \det(M)=4. Então \operatorname{adj}(M)=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&2\end{pmatrix} inteiro, e
M^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2&0\\\ 0&1/2\end{pmatrix},
com entradas racionais não inteiras, conforme esperado. Já M=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} tem \det(M)=1 e M^{-1}=M inteiro.
Esses exemplos ilustram as duas partes da afirmação.

Resposta

M^{-1} possui entradas racionais.
M^{-1} possui entradas inteiras se, e somente se, \det(M)=\pm 1.

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