Seja
uma matriz invertível cujas entradas são números inteiros. Mostre que
possui entradas racionais. Além disso, mostre que
possui entradas inteiras se, e somente se,
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
é invertível e todas as entradas de são inteiros (ou seja, cada elemento ). - Pede-se:
- Mostrar que as entradas de
são números racionais. - Mostrar que as entradas de
são inteiras se, e somente se, .
- Mostrar que as entradas de
Vou usar apenas as informações acima; a resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Propriedade importante sobre determinantes de matrizes com entradas inteiras.
Explicação/mini-aula: a definição por permutações dá uma fórmula explícita da determinante. Para
temos
Cada produto
é um produto de inteiros, logo é inteiro; a soma finita de inteiros é inteira. Portanto, se todas as entradas de
são inteiras então
Observação: isto é básico e útil — determinante de matriz inteira é inteiro.
Passo 3
Definição de menor, cofator e matriz adjunta (adjugate), e por que seus elementos são inteiros.
Mini-aula: para cada par
defina
como a matriz
obtida de
eliminando a linha
e a coluna
. O cofator
é
A matriz cofatórica (com entradas
) tem por transposta a matriz adjunta
; isto é, a entrada
de
é
.
Como
é uma matriz com entradas inteiras (submatriz de
), pela mesma razão do Passo 2 temos
. Logo cada
. Portanto todas as entradas de
são inteiras:
Passo 4
Identidade fundamental que liga
,
e
.
Mini-aula: existe a identidade clássica
onde
é a matriz identidade de ordem
. Uma maneira curta de ver isso é olhar para a entrada
do produto
: ela é
. Se
essa soma é exatamente a expansão de
pela linha
; se
então a soma corresponde a determinante de uma matriz com duas linhas iguais, que é zero. Isso dá a igualdade acima.
Passo 5
Fórmula do inverso usando a adjunta e conclusão imediata sobre racionalidade.
Da identidade do Passo 4, como
é invertível e
, multiplicando ambos os lados por
obtemos a fórmula conhecida
Agora, do Passo 2 sabemos que
e do Passo 3 sabemos que
tem entradas inteiras. Logo cada entrada de
é uma razão de dois inteiros (entrada da adjunta dividida por
), isto é, cada entrada de
é um número racional. Assim mostramos a primeira afirmação pedida.
Passo 6
Preparação para a parte “se, e somente se”: lembrar propriedade de determinante de matriz inteira.
Mini-aula curta: se uma matriz tem todas as entradas inteiras, então sua determinante é inteiro (já mostrado no Passo 2). Em particular, se
então
.
Passo 7
Direção (⇒): se
tem entradas inteiras então
.
Prova: suponha
. Então pela observação do Passo 6 temos
. Mas
. Também do Passo 2 temos
. Assim
é um inteiro cujo inverso é também inteiro. O único inteiro que tem inverso inteiro é
. Logo
.
Comentário intuitivo: se
fosse, por exemplo,
, então
não é inteiro; isso contradiria
inteiro.
Passo 8
Direção (⇐): se
então
tem entradas inteiras.
Prova: suponha
. Pelo Passo 3 sabemos que
tem entradas inteiras. Usando a fórmula do Passo 5,
Como
, dividir inteiros por
dá inteiros. Portanto todas as entradas de
são inteiras. Isso conclui a direção contrária.
Passo 9
Resumo final e um exemplo rápido para fixar a intuição.
Exemplo simples:
tem entradas inteiras e
. Então
inteiro, e
com entradas racionais não inteiras, conforme esperado. Já
tem
e
inteiro.
Esses exemplos ilustram as duas partes da afirmação.
Resposta
M^{-1} possui entradas racionais.
M^{-1} possui entradas inteiras se, e somente se, .
M^{-1} possui entradas inteiras se, e somente se,