Seja uma sequência
definida como
para
. Prove por indução matemática que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
com as informações:
-
. - Para todo
vale .
O que se pede provar: que para todo
vale
Passo 2
Estratégia que será usada (explicação do método de prova por indução):
- Definir a proposição dependente de
. Aqui, para cada define-se a proposição
- A prova por indução tem duas partes essenciais:
- Base da indução: provar que
é verdadeira. - Passo indutivo: assumir que
é verdadeira para um arbitrário (isso é a hipótese de indução) e, a partir disso, provar que também é verdadeira.
- Base da indução: provar que
- Se essas duas partes são feitas corretamente, conclui-se que
vale para todo .
Agora aplicaremos essas duas partes ao nosso problema.
Passo 3
Base da indução (
):
- Pela definição da sequência temos diretamente
. - Calcule o lado direito da fórmula para
:
- Como
e , temos . Logo é verdadeira.
Passo 4
Hipótese de indução:
- Seja
um número inteiro arbitrário. Suponha que a proposição seja verdadeira; ou seja, suponha
- Aqui a palavra “arbitrário” é importante: não estamos dizendo que isso vale só para um
específico, estamos supondo que vale para um genérico e mostraremos que daí segue para .
Passo 5
Passo indutivo — provar
:
- Pela definição da sequência, para
(que é quando ) vale
- Usando a hipótese de indução
, substitui-se na linha acima:
- Agrupando os fatores e usando a propriedade de potências
, obtemos
- Finalmente note que
pode ser reescrito como . Portanto
ou seja,
é verdadeira sempre que
for verdadeira.
Passo 6
Conclusão da indução:
- Como demonstramos a base
e provamos que para todo , pelo princípio da indução matemática concluímos que é verdadeira para todo . - Em palavras: para todo inteiro
vale .
Passo 7
Verificação rápida com valores pequenos (controle de sanidade):
- A definição dá
. - Pela recorrência
. Pela fórmula fechada . - Ainda
. Fórmula: . - Esses exemplos mostram que a fórmula coincide com os primeiros termos, como esperado.