Seja uma sequência a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots definida como \left\{\begin{array}{l}a_{1}=3 \\\ a_{k}=7 a_{k-1}\end{array}\right. para k \geq 2. Prove por indução matemática que a_{n}=3 \cdot 7^{n-1}, para todo n \geq 1.

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{1},a_{2},a_{3},\ldots com as informações:
  • a_{1}=3.
  • Para todo k\ge 2 vale a_{k}=7\,a_{k-1}.
O que se pede provar: que para todo n\ge 1 vale
a_{n}=3\cdot 7^{\,n-1}.

Passo 2

Estratégia que será usada (explicação do método de prova por indução):
  • Definir a proposição dependente de n. Aqui, para cada n\ge 1 define-se a proposição
P(n):\quad a_{n}=3\cdot 7^{\,n-1}.
  • A prova por indução tem duas partes essenciais:
    1. Base da indução: provar que P(1) é verdadeira.
    2. Passo indutivo: assumir que P(m) é verdadeira para um m\ge 1 arbitrário (isso é a hipótese de indução) e, a partir disso, provar que P(m+1) também é verdadeira.
  • Se essas duas partes são feitas corretamente, conclui-se que P(n) vale para todo n\ge 1.
Agora aplicaremos essas duas partes ao nosso problema.

Passo 3

Base da indução ( n=1):
  • Pela definição da sequência temos diretamente a_{1}=3.
  • Calcule o lado direito da fórmula para n=1:
3\cdot 7^{\,1-1}=3\cdot 7^{0}=3\cdot 1=3.
  • Como a_{1}=3 e 3\cdot 7^{0}=3, temos a_{1}=3\cdot 7^{\,1-1}. Logo P(1) é verdadeira.

Passo 4

Hipótese de indução:
  • Seja m\ge 1 um número inteiro arbitrário. Suponha que a proposição P(m) seja verdadeira; ou seja, suponha
a_{m}=3\cdot 7^{\,m-1}.
  • Aqui a palavra “arbitrário” é importante: não estamos dizendo que isso vale só para um m específico, estamos supondo que vale para um m genérico e mostraremos que daí segue para m+1.

Passo 5

Passo indutivo — provar P(m+1):
  • Pela definição da sequência, para k=m+1 (que é \ge 2 quando m\ge1) vale
a_{m+1}=7\,a_{m}.
  • Usando a hipótese de indução a_{m}=3\cdot 7^{\,m-1}, substitui-se na linha acima:
a_{m+1}=7\cdot\bigl(3\cdot 7^{\,m-1}\bigr).
  • Agrupando os fatores e usando a propriedade de potências 7\cdot 7^{\,m-1}=7^{1}\cdot 7^{\,m-1}=7^{\,m}, obtemos
a_{m+1}=3\cdot 7^{\,m}.
  • Finalmente note que 3\cdot 7^{\,m} pode ser reescrito como 3\cdot 7^{\,(m+1)-1}. Portanto
a_{m+1}=3\cdot 7^{\,(m+1)-1},
ou seja, P(m+1) é verdadeira sempre que P(m) for verdadeira.

Passo 6

Conclusão da indução:
  • Como demonstramos a base P(1) e provamos que P(m)\Rightarrow P(m+1) para todo m\ge 1, pelo princípio da indução matemática concluímos que P(n) é verdadeira para todo n\ge 1.
  • Em palavras: para todo inteiro n\ge 1 vale a_{n}=3\cdot 7^{\,n-1}.

Passo 7

Verificação rápida com valores pequenos (controle de sanidade):
  • A definição dá a_{1}=3.
  • Pela recorrência a_{2}=7a_{1}=7\cdot 3=21. Pela fórmula fechada 3\cdot 7^{2-1}=3\cdot 7=21.
  • Ainda a_{3}=7a_{2}=7\cdot 21=147. Fórmula: 3\cdot 7^{3-1}=3\cdot 7^{2}=3\cdot 49=147.
  • Esses exemplos mostram que a fórmula coincide com os primeiros termos, como esperado.

Resposta

a_{n}=3\cdot 7^{\,n-1} \quad\text{para todo }n\ge 1.

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