Considere as matrizes:
A=\left[\begin{array}{rr} -1 & 2 \\\\ 3 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr} 4 & -1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right], C=\left[\begin{array}{lll} 3 & 1 & 5 \\\\ 1 & 4 & 2 \end{array}\right], D=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 5 & 2 \\\\ 3 & 2 & 4 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right], E=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 2 \\\\ 6 & 1 & 3 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right]
Quando possível, calcule o que se pede:
(c) \left(2 E^{T}-3 D^{T}\right)^{T}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, quando possível, a matriz
\left(2E^{T}-3D^{T}\right)^{T}.
As informações relevantes fornecidas são as matrizes D e E:
D=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 5 & 2 \\\\ 3 & 2 & 4 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right], \qquad E=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 2 \\\\ 6 & 1 & 3 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right].

Passo 2

Vamos recordar propriedades elementares das transpostas e da multiplicação por escalar (aquelas que vou usar no cálculo). São fatos simples, fáceis de aplicar na hora da prova:
  • Para qualquer matriz M vale (M^{T})^{T}=M. Ou seja, transpor duas vezes devolve a matriz original.
  • Para qualquer escalar \alpha e matriz M vale (\alpha M)^{T}=\alpha M^{T}. O escalar pode sair da transposta.
  • Para quaisquer matrizes X e Y de mesma dimensão vale (X-Y)^{T}=X^{T}-Y^{T}. A transposta distribui sobre soma e subtração.
Essas propriedades permitem simplificar expressões com transpostas sem calcular cada transposta explicitamente.

Passo 3

Aplicando as propriedades citadas à expressão \left(2E^{T}-3D^{T}\right)^{T} obtemos passo a passo:
\left(2E^{T}-3D^{T}\right)^{T}=\left(2E^{T}\right)^{T}-\left(3D^{T}\right)^{T}
pela distributividade da transposta sobre subtração, e em seguida, usando (\alpha M)^{T}=\alpha M^{T} e (M^{T})^{T}=M,
\left(2E^{T}\right)^{T}=2\left(E^{T}\right)^{T}=2E, \qquad \left(3D^{T}\right)^{T}=3\left(D^{T}\right)^{T}=3D.
Portanto chegamos à simplificação importante e prática
\left(2E^{T}-3D^{T}\right)^{T}=2E-3D.
Comentário amigo: isso é muito útil na prova — em vez de transpor E e D primeiro e só depois multiplicar e transpor de novo, percebeu que tudo se reduz a 2E-3D. Economia de tempo!

Passo 4

Agora é só calcular 2E. Multiplicar uma matriz por um escalar significa multiplicar cada entrada pelo escalar. Então:
2E=2\cdot\left[\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 2 \\\\ 6 & 1 & 3 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{rrr} 2\cdot(-1) & 2\cdot1 & 2\cdot2 \\\\ 2\cdot6 & 2\cdot1 & 2\cdot3 \\\\ 2\cdot4 & 2\cdot1 & 2\cdot3 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{rrr} -2 & 2 & 4 \\\\ 12 & 2 & 6 \\\\ 8 & 2 & 6 \end{array}\right].

Passo 5

Em seguida calculamos 3D do mesmo modo (cada entrada de D multiplicada por 3):
3D=3\cdot\left[\begin{array}{rrr} 1 & 5 & 2 \\\\ 3 & 2 & 4 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{rrr} 3 & 15 & 6 \\\\ 9 & 6 & 12 \\\\ -3 & 0 & 3 \end{array}\right].

Passo 6

Agora subtrai-se matriz a matriz: 2E-3D. A subtração é entrada a entrada (mesma posição). Faço cada linha explicitamente para você poder conferir na prova:
Primeira linha:
\begin{array}{l} -2-3=-5,\\\\ 2-15=-13,\\\\ 4-6=-2, \end{array}
segunda linha:
\begin{array}{l} 12-9=3,\\\\ 2-6=-4,\\\\ 6-12=-6, \end{array}
terceira linha:
\begin{array}{l} 8-(-3)=11,\\\\ 2-0=2,\\\\ 6-3=3. \end{array}
Assim,
2E-3D=\left[\begin{array}{rrr} -5 & -13 & -2 \\\\ 3 & -4 & -6 \\\\ 11 & 2 & 3 \end{array}\right].

Resposta

\left(2E^{T}-3D^{T}\right)^{T}=\left[\begin{array}{rrr} -5 & -13 & -2 \\\\ 3 & -4 & -6 \\\\ 11 & 2 & 3 \end{array}\right]

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