Seja m o valor para que a equação x^3+m x-1=0 tenha duas raízes reais iguais. Então m^3 é uma fração irredutível ab :
a=
b=

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação cúbica x^3 + m x - 1 = 0 e precisamos encontrar o valor de m para que essa equação tenha duas raízes reais iguais. Isso envolve conceitos de álgebra, especificamente de equações polinomiais e suas raízes. Para resolver, vamos precisar utilizar derivadas para encontrar as condições das raízes múltiplas.

Passo 2

Para que a equação x^3 + m x - 1 = 0 tenha duas raízes reais iguais, a derivada da função deve ter uma raiz comum com a própria função. Vamos definir a função f(x) = x^3 + m x - 1 e calcular sua derivada.

Passo 3

Calculando a derivada de f(x):
f'(x) = ddx(x^3 + m x - 1) = 3x^2 + m
Agora, temos a função original f(x) e sua derivada f'(x).

Passo 4

Para que haja uma raiz múltipla, devemos ter um valor de x = r que satisfaça ambas as equações:
f(r) = r^3 + m r - 1 = 0
f'(r) = 3r^2 + m = 0
Essas duas equações formam um sistema que podemos resolver para encontrar m e r.

Passo 5

Vamos resolver a segunda equação para m:
3r^2 + m = 0 implies m = -3r^2
Agora, substituímos esse valor de m na primeira equação:
r^3 + (-3r^2) r - 1 = 0 implies r^3 - 3r^3 - 1 = -2r^3 - 1 = 0
Resolvendo para r:
-2r^3 = 1 implies r^3 = -12 implies r = raiz[3]-12

Passo 6

Agora, substituindo r de volta na expressão para m:
m = -3r^2 = -3(raiz[3]-12)^2 = -3(12)^23 = -3 cdot 12^23
Simplificando:
m = -3 cdot 12^23 = -32^23

Passo 7

Queremos encontrar m^3:
m^3 = (-32^23)^3 = -27 cdot 12^2 = -27 cdot 14 = -274
Como a fração deve ser irredutível, temos a = 27 e b = 4.

Resposta

a = 27
b = 4

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