Seja
o valor para que a equação
tenha duas raízes reais iguais. Então
é uma fração irredutível
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação cúbica
e precisamos encontrar o valor de
para que essa equação tenha duas raízes reais iguais. Isso envolve conceitos de álgebra, especificamente de equações polinomiais e suas raízes. Para resolver, vamos precisar utilizar derivadas para encontrar as condições das raízes múltiplas.
Passo 2
Para que a equação
tenha duas raízes reais iguais, a derivada da função deve ter uma raiz comum com a própria função. Vamos definir a função
e calcular sua derivada.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Agora, temos a função original
e sua derivada
.
Passo 4
Para que haja uma raiz múltipla, devemos ter um valor de
que satisfaça ambas as equações:
Essas duas equações formam um sistema que podemos resolver para encontrar
e
.
Passo 5
Vamos resolver a segunda equação para
:
Agora, substituímos esse valor de
na primeira equação:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, substituindo
de volta na expressão para
:
Simplificando:
Passo 7
Queremos encontrar
:
Como a fração deve ser irredutível, temos
e
.