Seja uma máquina com tamanho de mantissa 12 e -31<= expoente <=31. Determine na base 2 e na base 10:
a) o maior número de todos

Passo 1

O enunciado dá uma máquina de ponto flutuante com:
  • tamanho da mantissa igual a 12 (ou seja, t=12 algarismos significativos);
  • intervalo do expoente igual a -31 \le expoente \le 31.
A pergunta (parte a) pede: determinar, na base 2 e na base 10, o maior número representável por essa máquina.
Vou listar claramente o que tenho de usar:
  • Mantissa com t=12 dígitos na base considerada (em base 2: 12 bits; em base 10: 12 dígitos decimais).
  • Expoente máximo e_{\max}=31.
  • Entendo que a representação é normalizada (ou seja, o primeiro dígito da mantissa não é zero): em base \beta o mantissa tem forma d_0.d_1d_2\ldots d_{t-1} com 1 \le d_0 \le \beta-1.

Passo 2

Vamos lembrar a forma do maior número normalizado numa aritmética de base \beta, mantissa com t dígitos e expoente máximo e_{\max}.
  • O maior mantissa (significand) ocorre quando todos os dígitos são seus valores máximos (isto é, d_0=d_1=\cdots=d_{t-1}=\beta-1).
  • Esse mantissa máximo vale
M_{\max}=\sum_{i=0}^{t-1}(\beta-1)\beta^{-i}=(\beta-1)\sum_{i=0}^{t-1}\beta^{-i}.
  • A soma geométrica dá
\sum_{i=0}^{t-1}\beta^{-i}=\frac{1-\beta^{-t}}{1-\beta^{-1}}=\frac{1-\beta^{-t}}{( \beta-1)/\beta}=\frac{\beta(1-\beta^{-t})}{\beta-1}.
  • Assim
M_{\max}=(\beta-1)\cdot\frac{\beta(1-\beta^{-t})}{\beta-1}=\beta(1-\beta^{-t}).
  • O maior número representável é então
X_{\max}=M_{\max}\cdot\beta^{e_{\max}}=\beta(1-\beta^{-t})\beta^{e_{\max}}=\beta^{\,e_{\max}+1}-\beta^{\,e_{\max}+1-t}.
Esta fórmula vale para qualquer base \beta e qualquer t.

Passo 3

Agora aplico a fórmula à base \beta=2 com t=12 e e_{\max}=31.
Usando a fórmula
X_{\max}^{(2)}=2^{\,e_{\max}+1}-2^{\,e_{\max}+1-t}.
Substituindo e_{\max}=31 e t=12,
X_{\max}^{(2)}=2^{32}-2^{32-12}=2^{32}-2^{20}.
Também posso expressar isso em notação de mantissa normalizada em base 2: a mantissa máxima é 1.\underbrace{11\ldots1}_{11\\ \text{uns}} (total de 12 bits, com o bit escondido 1 seguido de 11 uns), então
X_{\max}^{(2)}=\bigl(1.\underbrace{11\ldots1}_{11}\bigr)_2\times2^{31}.

Passo 4

Calculo os valores numéricos (em decimal) da expressão obtida para a base 2.
Sabendo que 2^{20}=1\,048\,576 e 2^{32}=4\,294\,967\,296, temos
X_{\max}^{(2)}=2^{32}-2^{20}=4\,294\,967\,296-1\,048\,576=4\,293\,918\,720.
Em notação científica decimal (com vírgula como separador decimal) isso é
X_{\max}^{(2)}\approx 4,293918720\times10^{9}.

Passo 5

Agora aplico a fórmula para a base \beta=10 (mantissa decimal) com t=12 e e_{\max}=31.
Usando a fórmula geral,
X_{\max}^{(10)}=10^{\,e_{\max}+1}-10^{\,e_{\max}+1-t}.
Substituindo e_{\max}=31 e t=12,
X_{\max}^{(10)}=10^{32}-10^{20}.
A mantissa máxima em formato decimal normalizado é 9.\underbrace{99\ldots9}_{11\\ \text{novenas}} (um dígito inteiro mais 11 dígitos fracionários, total 12 dígitos), portanto também se pode escrever
X_{\max}^{(10)}=\bigl(9{,}\underbrace{99\ldots9}_{11}\bigr)\times10^{31}=9{,}99999999999\times10^{31}.

Passo 6

Interpretações finais e formas exatas/aproximadas:
  • Em base 2 os formatos equivalentes são:
    • forma de potência inteira: 2^{32}-2^{20};
    • forma normalizada binária: \bigl(1.\underbrace{11\ldots1}_{11}\bigr)_2\times2^{31};
    • valor decimal exato: 4\,293\,918\,720;
    • notação científica decimal aproximada: 4{,}293918720\times10^{9}.
  • Em base 10 os formatos equivalentes são:
    • forma exata: 10^{32}-10^{20};
    • forma normalizada decimal: 9{,}99999999999\times10^{31} (a mantissa tem 12 dígitos: um dígito inteiro 9 e 11 noves depois da vírgula).

Resposta

\text{Base }2:\quad X_{\max}=2^{32}-2^{20}=\bigl(1.\underbrace{11\ldots1}_{11}\bigr)_2\times2^{31}=4\,293\,918\,720\approx4{,}293918720\times10^{9}\n
\text{Base }10:\quad X_{\max}=10^{32}-10^{20}=9{,}99999999999\times10^{31}

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