a) Encontre a solução geral em forma implícita para a equação diferencial
b) Para o problema de valor inicial que se obtém acrescentando a condição inicial
, dê a expressão da solução e seu intervalo máximo de definição, isto é, determine para quais valores de
a solução está definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais juntos! O enunciado pede pra gente achar a solução geral da equação $ y’ = -\frac{x-2}{2(y-1)} $ e depois resolver com a condição inicial $ y(2) = 0 $. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais de primeira ordem, mais especificamente, tipos que a gente pode separar as variáveis para resolver. Vamos precisar lembrar como separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, a gente tem a equação $ y’ = -\frac{x-2}{2(y-1)} $. Vamos reescrever $ y’ $ como $ \frac{dy}{dx} $ para facilitar a manipulação:
Passo 3
A ideia é separar as variáveis $ y $ e $ x $ de lados diferentes da equação. Vamos multiplicar ambos os lados por $ 2(y-1) $ e por $ dx $ para isolar $ dy $ e $ dx $:
Passo 4
Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados. A integral de $ 2(y-1) , dy $ em relação a $ y $ e a integral de $ -(x - 2) , dx $ em relação a $ x $:
Passo 5
Vamos resolver cada integral:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Passo 6
Juntando as integrais e adicionando a constante de integração $ C $:
Passo 7
Podemos reorganizar para deixar tudo em um lado da equação, mas como o enunciado pede a solução implícita, já estamos prontos. Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 8
Agora, vamos resolver a parte b) com a condição inicial $ y(2) = 0 $. Isso significa que quando $ x = 2 $, $ y $ vale 0. Vamos usar essa informação para encontrar o valor da constante $ C $ na nossa solução geral.
Passo 9
Vamos substituir $ x = 2 $ e $ y = 0 $ na equação geral:
Simplificando:
Passo 10
Resolvendo para $ C $:
Passo 11
Agora, substituímos $ C = -2 $ na solução geral:
Passo 12
Essa é a expressão da solução com a condição inicial. Para encontrar o intervalo máximo de definição, precisamos garantir que o denominador da equação original $ 2(y - 1) $ não seja zero, ou seja, $ y \neq 1 $. Além disso, devemos considerar os valores de $ x $ para os quais a expressão dentro da raiz (se resolvermos para $ y $) é válida.
Passo 13
Analisando a equação:
Podemos reescrever como:
Para que $ y $ seja real, o lado direito precisa resultar em um valor que permita soluções reais para $ y $. Analisando a equação quadrática em $ y $, o discriminante deve ser não negativo:
Resolvendo $ x^{2} - 4x + 2 = 0 $:
Portanto, o intervalo de $ x $ onde a solução está definida é $ [2 - \sqrt{2},\ 2 + \sqrt{2}] $.
Resposta
A solução com a condição inicial $ y(2) = 0 $ é:
E o intervalo máximo de definição para $ x $ é: