Seja RA: Mat(2) Mat(2) um operador linear no espaço vetorial de matrizes quadradas de orderm 2 , definido como RA(B)=A B, onde B in Mat(2) e
A=(ll 1 & 0 2 & 1 )
Achar a matriz RA (de ordem 4) desse operador na base canonica de Mat(2).

Passo 1

O enunciado define o operador linear
hat RA:Mat(2)toMat(2) por
hat RA(B)=A,B,
onde
A=1&02&1
Queremos a matriz de hat RA em ordem 4 na base canônica de Mat(2).

Passo 2

A base canônica B de Mat(2) é
E11=1&00&0, E12=0&10&0, E21=0&01&0, E22=0&00&1

Passo 3

Calculamos hat RA(E11) e hat RA(E12) e escrevemos em coordenadas na base B:
A,E11 =1&02&1 1&00&0 =1&02&0 =1,E11+2,E21,
A,E12 =1&02&1 0&10&0 =0&10&2 =1,E12+2,E22
Logo, as duas primeiras colunas de RA são
[A,E11] B=(1,0,2,0)^ T, [A,E12] B=(0,1,0,2)^ T

Passo 4

De modo análogo para E21 e E22:
A,E21 =1&02&1 0&01&0 =0&01&0 =1,E21,
A,E22 =1&02&1 0&00&1 =0&00&1 =1,E22
Assim as duas últimas colunas são
[A,E21] B=(0,0,1,0)^ T, [A,E22] B=(0,0,0,1)^ T

Passo 5

Reunindo as quatro colunas obtemos a matriz de hat RA na base canônica:
RA = 1&0&0&0 0&1&0&0 2&0&1&0 0&2&0&1

Resposta

RA = 1&0&0&0 0&1&0&0 2&0&1&0 0&2&0&1

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