Em R^3, considere as bases A=(1 ; 1 ; 1) ;(0 ; 1 ; 1) ;(0 ; 1 ;-1)
e B=(1 ; 1 ; 0) ;(0 ; 1 ; 1) ;(0 ; 0 ; 1). Determine a matriz de transição da base A para a base B.

Passo 1

Resumindo, em R^3 temos as bases
A = ,a1=(1,1,1),;a2=(0,1,1),;a3=(0,1,-1)
e
B = ,b1=(1,1,0),;b2=(0,1,1),;b3=(0,0,1)
Queremos a matriz de transição P de A para B, ou seja, a matriz tal que para qualquer vetor v valha
[v]B ;=; P,[v]A
Para isso, basta escrever cada aj como combinação linear de b1,b2,b3.

Passo 2

Escrevemos
(1,1,1) = x,(1,1,0);+;y,(0,1,1);+;z,(0,0,1)
Isso gera o sistema
x = 1, x + y = 1, y + z = 1
Daí x=1, y=0, z=1. Logo as coordenadas de a1 na base B são (1,0,1).

Passo 3

Agora
(0,1,1) = x,(1,1,0);+;y,(0,1,1);+;z,(0,0,1)
gera
x = 0, x + y = 1, y + z = 1,
de onde x=0, y=1, z=0. Então as coordenadas de a2 em B são (0,1,0).

Passo 4

Finalmente
(0,1,-1) = x,(1,1,0);+;y,(0,1,1);+;z,(0,0,1)
x = 0, x + y = 1, y + z = -1,
de onde x=0, y=1, z=-2. Logo as coordenadas de a3 em B são (0,1,-2).

Passo 5

A matriz de transição P tem como colunas justamente essas coordenadas dos aj em B. Assim,
P ;=; 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & -2

Resposta

P = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & -2

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