Seja RA: Mat(2) Mat(2) um operador linear no espaço vetorial de matrizes quadradas de orderm 2 , definido como RA(B)=A B,
onde B in Mat(2) e
A=(ll 1 & 0 2 & 1 )
Determinar dim N(RA) e dim Im(RA).

Passo 1

O enunciado define o operador linear
hat RA:Mat(2)toMat(2) dado por
hat RA(B)=A,B
onde
A=1&02&1
O espaço Mat(2) tem dimensão 4. Vamos achar dim N(hat RA) e dimIm(hat RA).

Passo 2

Primeiro, verificamos se é invertível calculando seu determinante:
Como , é invertível e .

Passo 3

Para achar o núcleo, resolvemos
A,B = 0,
isto é, cada coluna bj de B satisfaz A,bj=0. Mas ker(A)=0 porque A é invertível. Logo cada bj=0 e, portanto, B=0. Assim
N(hat RA)=0 Longrightarrow dim N(hat RA)=0

Passo 4

Como Mat(2) tem dimensão 4, pelo teorema da dimensão (rank–nullity):
dim N(hat RA) + dimIm(hat RA) = 4
substituindo dim N(hat RA)=0 obtemos
dimIm(hat RA) = 4

Resposta

dim N(hat RA)=0
dimIm(hat RA)=4

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