Seja
um operador linear no espaço vetorial de matrizes quadradas de orderm 2 , definido como
,
onde
Determinar
dim N(RA) e
dim Im(RA) .
onde
Passo 1
O enunciado define o operador linear
hat RA:Mat(2)toMat(2) dado por
onde
O espaço
Mat(2) tem dimensão
4 . Vamos achar
dim N(hat RA) e
dimIm(hat RA) .
Passo 2
Primeiro, verificamos se
é invertível calculando seu determinante:
Como
,
é invertível e .
Passo 3
Para achar o núcleo, resolvemos
isto é, cada coluna
bj de
B satisfaz
A,bj=0 . Mas
ker(A)=0 porque
A é invertível. Logo cada
bj=0 e, portanto,
B=0 . Assim
Passo 4
Como
Mat(2) tem dimensão
4 , pelo teorema da dimensão (rank–nullity):
substituindo
dim N(hat RA)=0 obtemos