Seja
definida por
em que
. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
com
. A tarefa é provar que
Informações importantes fornecidas:
-
. - A expressão
aparece no denominador. - Queremos o limite quando
tende a pela direita (ou seja, e ).
Passo 2
Intuição (passo suave antes da prova rigorosa): quando
temos
. Como
, a função
é crescente e satisfaz
. Logo
quando
. Então o denominador
tende a
e a fração
tende a
. Agora vamos formalizar isso com um argumento
-
.
Passo 3
Lembrando a definição de limite que usaremos: provar que
significa mostrar que, para todo
, existe
tal que, sempre que
, ocorre
. Aqui
pois
.
Queremos, portanto, garantir
Essa desigualdade é equivalente (porque tudo é positivo) a
Passo 4
Tratamento da desigualdade obtida. Há dois casos a considerar em relação a
, mas podemos unificá-los escolhendo um número
que domine o lado direito:
Defina
Assim
sempre. Se conseguirmos garantir
então, em particular,
(porque
), e então
.
Como
e
, a função exponencial é invertível e monotonicamente crescente, logo a relação
é equivalente a
Isso, por sua vez, equivale a
Note que
porque
e
, então
é bem definida e positiva.
Portanto, escolhendo
concluímos que para todo
com
vale
, logo
e então
Passo 5
Resumo da prova
-
: dado
construímos
e tomamos
. Para
obtemos
. Isso mostra exatamente que
.
Observação final intuitiva e motivadora: na prática, para
muito pequeno a potência
explode (fica enorme) porque
fica muito grande; por isso o denominador domina e a fração vai a zero — era isso que a prova formal confirmou.