Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine sua dimensão.
(d) W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-y+z=0\right. e \left.y-w=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para achar uma base e a dimensão do subespaço
W = \{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4 \mid x - y + z = 0,\; y - w = 0\}.
O conteúdo aqui é resolução de um sistema linear para descrever um subespaço como combinação linear e então extrair uma base.

Passo 2

Vamos resolver as restrições
x - y + z = 0 \quad\text{e}\quad y - w = 0.
Da segunda equação, temos \;w = y. Substituindo na primeira,
x - y + z = 0 \;\Longrightarrow\; x = y - z.

Passo 3

Como y e z não aparecem mais em restrições adicionais, podemos tomá-los como parâmetros livres. Escrevemos
(x,y,z,w) = (\,y - z,\;y,\;z,\;y\,).
Agora separamos em coeficientes de y e z:
(x,y,z,w) = y\,(1,1,0,1) \;+\; z\,(-1,0,1,0).

Passo 4

Os vetores
v_1 = (1,1,0,1), \quad v_2 = (-1,0,1,0)
geram W e são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial deles dá o vetor nulo). Logo são uma base de W.

Passo 5

A base de W tem exatamente 2 vetores, então a dimensão de W é 2.

Resposta

Uma base de W é
\{(1,1,0,1),\,(-1,0,1,0)\},
e \dim(W)=2.

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