Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine sua dimensão.
(d)
e
(d)
Passo 1
O enunciado pede para achar uma base e a dimensão do subespaço
O conteúdo aqui é resolução de um sistema linear para descrever um subespaço como combinação linear e então extrair uma base.
Passo 2
Vamos resolver as restrições
Da segunda equação, temos
. Substituindo na primeira,
Passo 3
Como
e
não aparecem mais em restrições adicionais, podemos tomá-los como parâmetros livres. Escrevemos
Agora separamos em coeficientes de
e
:
Passo 4
Os vetores
geram
e são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial deles dá o vetor nulo). Logo são uma base de
.
Passo 5
A base de
tem exatamente 2 vetores, então a dimensão de
é 2.
Resposta
Uma base de
é
e
.