Seja V=\mathbb{R}^{2} o espaço vetorial com produto interno definido pela forma quadradica
\left\|\left(x_{1}, x_{2}\right)\right\|^{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+3 x_{2}^{2}
Seja E a projeção ortogonal de V sobre o subespaço W gerado pelo vetor (3,4). Agora responda as quatro questões do Exercício 2.2.16, onde:
  1. uma formula para E(x_{1}, x_{2});
  2. a matriz de E na base canônica;
  3. W^{\perp};
  4. uma base ortonormal em que E é representada pela matriz
\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que nos foi dado):
  • O espaço vetorial é V=\mathbb{R}^{2}.
  • O produto interno está dado implicitamente pela norma
\left\|\left(x_{1},x_{2}\right)\right\|^{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+3x_{2}^{2}.
  • O subespaço W é gerado pelo vetor (3,4), ou seja W=\operatorname{span}\{(3,4)\}.
  • E é a projeção ortogonal de V sobre W (projeção em relação a esse produto interno).
O que o exercício pede (as quatro perguntas do Exercício 2.2.16):
  1. Uma fórmula para E(x_{1},x_{2}) — ou seja, dada uma x=(x_{1},x_{2}), escrever E(x).
  2. A matriz de E na base canônica de \mathbb{R}^{2}.
  3. Determinar W^{\perp} (o complemento ortogonal de W relativo ao produto interno dado).
  4. Encontrar uma base ortonormal (para o produto interno dado) em que a matriz de E seja
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 2

Interpretar a norma como produto interno e obter a matriz do produto interno.
  • A norma satisfaz \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle. Para x=(x_{1},x_{2}) temos
\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+3x_{2}^{2}=x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+4x_{2}^{2}.
  • Um produto interno bilinear em \mathbb{R}^{2} pode ser escrito como \langle x,y\rangle = x^{T}G y para alguma matriz simétrica G. Se G=\begin{pmatrix}a & b\\\ b & c\end{pmatrix} então x^{T}Gx = a x_{1}^{2} + 2b x_{1}x_{2} + c x_{2}^{2}.
  • Comparando com x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+4x_{2}^{2} obtemos a=1, 2b=-2\Rightarrow b=-1, c=4.
Logo a matriz do produto interno é
G=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 4\end{pmatrix},
e o produto interno é, para x,y\in\mathbb{R}^{2},
\langle x,y\rangle = x^{T}G y.]

Passo 3

Lembrando a fórmula da projeção ortogonal em uma direção (subespaço unidimensional).
  • Se W=\operatorname{span}\{u\} com u\neq 0, a projeção ortogonal de x em W (relativa ao produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle) é
\operatorname{proj}_{W}(x)=\frac{\langle x,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
  • Aqui u=(3,4). Vamos calcular \langle u,u\rangle e \langle x,u\rangle usando G.

Passo 4

Cálculo de \langle u,u\rangle onde u=(3,4).
  • Primeiro calculamos G\,u:
G\,u=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\[4pt]4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot 3 + (-1)\cdot 4\\[4pt] -1\cdot 3 + 4\cdot 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[4pt]13\end{pmatrix}.
  • Então
\langle u,u\rangle = u^{T}G u = \begin{pmatrix}3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]13\end{pmatrix} =3\cdot(-1)+4\cdot 13=-3+52=49.
Portanto \langle u,u\rangle=49 e \|u\|=\sqrt{49}=7.]

Passo 5

Cálculo de \langle x,u\rangle para x=(x_{1},x_{2}).
  • Usando o resultado G u =(-1,13)^{T} do passo anterior, temos
\langle x,u\rangle = x^{T}G u = \begin{pmatrix}x_{1} & x_{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]13\end{pmatrix} =-x_{1}+13x_{2}.]

Passo 6

Escrever a fórmula da projeção E(x).
  • Pela fórmula da projeção unidimensional:
E(x)=\operatorname{proj}_{W}(x)=\frac{\langle x,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u =\frac{-x_{1}+13x_{2}}{49}\,(3,4).
  • Distribuindo coordenadas:
E(x_{1},x_{2})=\left(\frac{3(-x_{1}+13x_{2})}{49},\; \frac{4(-x_{1}+13x_{2})}{49}\right).
  • Alternativamente, escrevendo em forma matricial E(x)=A x, com x como vetor coluna, as colunas de A são E(1,0) e E(0,1). Calculando:
E(1,0)=\frac{-1+0}{49}(3,4)=\left(\frac{-3}{49},\frac{-4}{49}\right), \qquad E(0,1)=\frac{0+13}{49}(3,4)=\left(\frac{39}{49},\frac{52}{49}\right).

Passo 7

Determinar a matriz de E na base canônica.
  • A matriz A cujo efeito é E(x)=Ax (colunas sendo E(1,0) e E(0,1)) é
A=\frac{1}{49}\begin{pmatrix}-3 & 39\\[4pt]-4 & 52\end{pmatrix}.
  • Pode-se verificar que A^{2}=A (projeção) e que A é simétrica relativamente a G (isto é, \langle Ax,y\rangle=\langle x,Ay\rangle), mas isso é só uma verificação extra.]

Passo 8

Determinar W^{\perp}.
  • Por definição W^{\perp}=\{v\in\mathbb{R}^{2}\mid \langle v,u\rangle=0\}.
  • Usando \langle v,u\rangle=-v_{1}+13v_{2} (mesma expressão do passo 5 com v no lugar de x), a condição \langle v,u\rangle=0 é
-v_{1}+13v_{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad v_{1}=13v_{2}.
  • Logo um gerador é v=(13,1), e
W^{\perp}=\operatorname{span}\{(13,1)\}.

Passo 9

Construir uma base ortonormal (relativa ao produto interno dado) em que E tenha matriz \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
  • Já temos u=(3,4) gerando W e \|u\|=7. Normalizando:
e_{1}=\frac{u}{\|u\|}=\left(\frac{3}{7},\frac{4}{7}\right).
Então \langle e_{1},e_{1}\rangle=1 e e_{1}\in W.
  • Para o complemento, usamos v=(13,1) que gera W^{\perp}. Calculamos \langle v,v\rangle:
Gv=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}13\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\[4pt]-9\end{pmatrix},
\langle v,v\rangle = v^{T}Gv = \begin{pmatrix}13 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}12\\[4pt]-9\end{pmatrix} =13\cdot 12 + 1\cdot(-9)=156-9=147.
Assim \|v\|=\sqrt{147}=7\sqrt{3}. Normalizando:
e_{2}=\frac{v}{\|v\|}=\left(\frac{13}{7\sqrt{3}},\frac{1}{7\sqrt{3}}\right).
  • Verificamos que \langle e_{1},e_{2}\rangle=0 (pela construção) e que ambos têm norma 1. Portanto \{e_{1},e_{2}\} é uma base ortonormal para o produto interno dado.
  • Nessa base ortonormal, o primeiro vetor está em W e o segundo em W^{\perp}, logo a matriz da projeção ortogonal sobre W é
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
como pedido.]

Resposta

  1. E(x_{1},x_{2})=\displaystyle\left(\frac{3(-x_{1}+13x_{2})}{49},\;\frac{4(-x_{1}+13x_{2})}{49}\right)
  2. \displaystyle A=\frac{1}{49}\begin{pmatrix}-3 & 39\\[4pt]-4 & 52\end{pmatrix}
  3. W^{\perp}=\operatorname{span}\{(13,1)\}
  4. Uma base ortonormal (para o produto interno dado) é
e_{1}=\left(\frac{3}{7},\frac{4}{7}\right),\qquad e_{2}=\left(\frac{13}{7\sqrt{3}},\frac{1}{7\sqrt{3}}\right),
na qual E tem matriz \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.]

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