Um produto interno bilinear em \mathbb{R}^{2} pode ser escrito como \langle x,y\rangle = x^{T}G y para alguma matriz simétrica G. Se G=\begin{pmatrix}a & b\\\ b & c\end{pmatrix} então x^{T}Gx = a x_{1}^{2} + 2b x_{1}x_{2} + c x_{2}^{2}.
Comparando com x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+4x_{2}^{2} obtemos a=1, 2b=-2\Rightarrow b=-1, c=4.
Pode-se verificar que A^{2}=A (projeção) e que A é simétrica relativamente a G (isto é, \langle Ax,y\rangle=\langle x,Ay\rangle), mas isso é só uma verificação extra.]
Passo 8
Determinar W^{\perp}.
Por definição W^{\perp}=\{v\in\mathbb{R}^{2}\mid \langle v,u\rangle=0\}.
Usando \langle v,u\rangle=-v_{1}+13v_{2} (mesma expressão do passo 5 com v no lugar de x), a condição \langle v,u\rangle=0 é
Verificamos que \langle e_{1},e_{2}\rangle=0 (pela construção) e que ambos têm norma 1. Portanto \{e_{1},e_{2}\} é uma base ortonormal para o produto interno dado.
Nessa base ortonormal, o primeiro vetor está em W e o segundo em W^{\perp}, logo a matriz da projeção ortogonal sobre W é