Seja \mathbb{K} um corpo. Dizemos que \mathbb{K} é algebricamente fechado se \forall f(x) \in \mathbb{K}[x], \exists \alpha \in \mathbb{K} tal que f(\alpha)=0. Mostre que se \mathbb{K} é algebricamente fechado então todo polinômio f(x) \in \mathbb{K} com \partial f \geq 1 pode ser fatorado em \mathbb{K} do seguinte modo:
f(x)=c\left(x-\alpha_{1}\right)\left(x-\alpha_{2}\right) \cdots\left(x-\alpha_{n}\right)
onde c \in \mathbb{K} e \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in \mathbb{K} são raízes de \mathbb{K}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se \mathbb{K} é um corpo algebricamente fechado, então todo polinômio f(x)\in\mathbb{K}[x] com \deg f\ge 1 pode ser escrito como produto de fatores lineares em \mathbb{K}, isto é:
f(x)=c\left(x-\alpha_{1}\right)\left(x-\alpha_{2}\right)\cdots\left(x-\alpha_{n}\right),
onde c\in\mathbb{K} e \alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{K}.
Informações dadas e o que precisamos usar explicitamente:
  • Temos um corpo \mathbb{K} que é algebricamente fechado (ou seja, todo polinômio não-constante em \mathbb{K}[x] tem pelo menos uma raiz em \mathbb{K}).
  • Temos um polinômio f(x)\in\mathbb{K}[x] com \deg f = n\ge 1.
  • Precisamos mostrar a existência de c\in\mathbb{K} e \alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{K} que satisfazem a igualdade acima.

Passo 2

Lema útil (Teorema do Fator): se \alpha\in\mathbb{K} é raiz de f\in\mathbb{K}[x], então (x-\alpha) divide f(x), ou seja, existem q(x)\in\mathbb{K}[x] e r\in\mathbb{K} tais que
f(x)=(x-\alpha)q(x)+r
e, avaliando em x=\alpha,
f(\alpha)=(\alpha-\alpha)q(\alpha)+r=r.
Como \alpha é raiz, f(\alpha)=0, logo r=0 e portanto
f(x)=(x-\alpha)q(x).
Explicando passo a passo (bem didático): a divisão de polinômios por um polinômio de grau 1 sempre fornece um quociente q e resto r com \deg r<1, isto é, r é constante. Avaliando em \alpha obtemos o resto; se \alpha é raiz, o resto é zero, então o fator linear extrai-se exatamente.

Passo 3

Vamos aproveitar que \mathbb{K} é algebricamente fechado. Como \deg f=n\ge 1, pela definição de “algebricamente fechado” existe \alpha_{1}\in\mathbb{K} tal que
f(\alpha_{1})=0.
Pelo Teorema do Fator do Passo 2 existe q_{1}(x)\in\mathbb{K}[x] tal que
f(x)=(x-\alpha_{1})q_{1}(x),
e além disso \deg q_{1}=n-1 (pois extrair um fator linear reduz o grau em 1). Aqui já tiramos um fator linear.

Passo 4

Estratégia: usar indução sobre o grau n=\deg f. Primeiro a base da indução.
Base ( n=1). Se \deg f=1, então f é da forma f(x)=ax+b com a\neq 0. A raiz é \alpha=-b/a\in\mathbb{K} e logo
f(x)=a\big(x-(-b/a)\big)=a(x-\alpha),
que é exatamente um produto de um coeficiente c=a por um fator linear. A afirmação vale para n=1.

Passo 5

Passo indutivo. Suponha que toda polinômio de grau menor que n (para algum n\ge 2) se escreve como produto de fatores lineares em \mathbb{K}. Seja f\in\mathbb{K}[x] com \deg f=n. Pelo Passo 3 existe \alpha_{1}\in\mathbb{K} tal que
f(x)=(x-\alpha_{1})q_{1}(x),
com \deg q_{1}=n-1. Pela hipótese de indução (aplicada a q_{1}) existe c\in\mathbb{K} e \alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{K} tais que
q_{1}(x)=c\left(x-\alpha_{2}\right)\cdots\left(x-\alpha_{n}\right).
Substituindo em f(x) obtemos
f(x)= (x-\alpha_{1})\; c\left(x-\alpha_{2}\right)\cdots\left(x-\alpha_{n}\right) = c\left(x-\alpha_{1}\right)\left(x-\alpha_{2}\right)\cdots\left(x-\alpha_{n}\right),
que é a fatoração desejada para grau n. Assim a propriedade vale por indução para todo n\ge 1.

Passo 6

Observação sobre o coeficiente c: se f tem coeficiente líder a_n (ou seja, f(x)=a_n x^n+\cdots), então o produto \left(x-\alpha_{1}\right)\cdots\left(x-\alpha_{n}\right) é um polinômio monico de grau n (coeficiente líder 1), logo para que o produto final tenha coeficiente líder a_n precisamos escolher c=a_n. Assim o c que aparece na fatoração é precisamente o coeficiente líder de f; em particular c\in\mathbb{K}.

Passo 7

Comentário final e dica prática para prova: o argumento essencial é simples e usa só duas ideias que você deve decorar:
  1. Num corpo, divisão de polinômios funciona e o resto ao dividir por x-\alpha é f(\alpha) (Teorema do Fator).
  2. Num corpo algebricamente fechado sempre existe pelo menos uma raiz para qualquer polinômio não-constante.
    Com isso, extrai-se uma raiz, reduz-se o grau e aplica-se indução até chegar em grau 1. No tempo da prova: escreva claramente “existe \alpha_1 tal que f(\alpha_1)=0”, use a divisão para obter f=(x-\alpha_1)q_1, e termine por indução.

Resposta

f(x)=c\left(x-\alpha_{1}\right)\left(x-\alpha_{2}\right)\cdots\left(x-\alpha_{n}\right)

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