Seja
um corpo. Dizemos que
é algebricamente fechado se
tal que
. Mostre que se
é algebricamente fechado então todo polinômio
com
pode ser fatorado em
do seguinte modo:
onde
e
são raízes de
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é um corpo algebricamente fechado, então todo polinômio
com
pode ser escrito como produto de fatores lineares em
, isto é:
onde
e
.
Informações dadas e o que precisamos usar explicitamente:
Informações dadas e o que precisamos usar explicitamente:
- Temos um corpo
que é algebricamente fechado (ou seja, todo polinômio não-constante em tem pelo menos uma raiz em ). - Temos um polinômio
com . - Precisamos mostrar a existência de
e que satisfazem a igualdade acima.
Passo 2
Lema útil (Teorema do Fator): se
é raiz de
, então
divide
, ou seja, existem
e
tais que
e, avaliando em
,
Como
é raiz,
, logo
e portanto
Explicando passo a passo (bem didático): a divisão de polinômios por um polinômio de grau 1 sempre fornece um quociente
e resto
com
, isto é,
é constante. Avaliando em
obtemos o resto; se
é raiz, o resto é zero, então o fator linear extrai-se exatamente.
Passo 3
Vamos aproveitar que
é algebricamente fechado. Como
, pela definição de “algebricamente fechado” existe
tal que
Pelo Teorema do Fator do Passo 2 existe
tal que
e além disso
(pois extrair um fator linear reduz o grau em 1). Aqui já tiramos um fator linear.
Passo 4
Estratégia: usar indução sobre o grau
. Primeiro a base da indução.
Base (
). Se
, então
é da forma
com
. A raiz é
e logo
que é exatamente um produto de um coeficiente
por um fator linear. A afirmação vale para
.
Passo 5
Passo indutivo. Suponha que toda polinômio de grau menor que
(para algum
) se escreve como produto de fatores lineares em
. Seja
com
. Pelo Passo 3 existe
tal que
com
. Pela hipótese de indução (aplicada a
) existe
e
tais que
Substituindo em
obtemos
que é a fatoração desejada para grau
. Assim a propriedade vale por indução para todo
.
Passo 6
Observação sobre o coeficiente
: se
tem coeficiente líder
(ou seja,
), então o produto
é um polinômio monico de grau
(coeficiente líder
), logo para que o produto final tenha coeficiente líder
precisamos escolher
. Assim o
que aparece na fatoração é precisamente o coeficiente líder de
; em particular
.
Passo 7
Comentário final e dica prática para prova: o argumento essencial é simples e usa só duas ideias que você deve decorar:
- Num corpo, divisão de polinômios funciona e o resto ao dividir por
é (Teorema do Fator). - Num corpo algebricamente fechado sempre existe pelo menos uma raiz para qualquer polinômio não-constante.
Com isso, extrai-se uma raiz, reduz-se o grau e aplica-se indução até chegar em grau. No tempo da prova: escreva claramente “existe tal que ”, use a divisão para obter , e termine por indução.