Mostre que o polinômio p(x)=x^{2}-1 \in \mathbb{Z}_{15}[x] tem 4 raízes em \mathbb{Z}_{15}. Por que esse fato não contradiz o teorema que diz um polinômio de grau n tem no máximo n raízes?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio \displaystyle p(x)=x^{2}-1 visto em \displaystyle \mathbb{Z}_{15}[x] e pede duas coisas: (a) mostrar que \displaystyle p(x) tem 4 raízes em \displaystyle \mathbb{Z}_{15}; (b) explicar por que esse fato não contradiz o teorema que afirma que um polinômio de grau n tem no máximo n raízes. Informações relevantes: o coeficiente e os cálculos são feitos em \displaystyle \mathbb{Z}_{15} (isto é, congruências módulo 15); o grau de p é \displaystyle 2. A partir daqui vou resolver e explicar passo a passo.

Passo 2

Queremos achar todos os x\in\mathbb{Z}_{15} tais que
x^{2}-1\equiv 0\pmod{15},
isto é,
x^{2}\equiv 1\pmod{15}.
Uma maneira limpa de proceder é usar o fato de que \displaystyle 15=3\cdot 5 e aplicar o Teorema Chinês dos Restos (CRT): resolver a congruência módulo 3 e módulo 5 e combinar soluções. Antes de aplicar o CRT, vou resolver as congruências mais simples.

Passo 3

Resolver \displaystyle x^{2}\equiv 1\pmod{3}.
Os restos representativos em \displaystyle \mathbb{Z}_{3} são \displaystyle 0,1,2. Calculamos os quadrados:
0^{2}\equiv 0,\qquad 1^{2}\equiv 1,\qquad 2^{2}\equiv 4\equiv 1\pmod{3}.
Logo as soluções em \displaystyle \mathbb{Z}_{3} são
x\equiv 1\pmod{3}\quad\text{e}\quad x\equiv 2\pmod{3}.

Passo 4

Resolver \displaystyle x^{2}\equiv 1\pmod{5}.
Os restos representativos em \displaystyle \mathbb{Z}_{5} são \displaystyle 0,1,2,3,4. Os quadrados relevantes são:
1^{2}\equiv 1,\qquad 2^{2}\equiv 4,\qquad 3^{2}\equiv 9\equiv 4,\qquad 4^{2}\equiv 16\equiv 1\pmod{5}.
Portanto as soluções em \displaystyle \mathbb{Z}_{5} são
x\equiv 1\pmod{5}\quad\text{e}\quad x\equiv 4\pmod{5}.

Passo 5

Aplicar o CRT: cada solução módulo 15 corresponde a um par de soluções (mod 3, mod 5). Como há 2 soluções mod 3 e 2 soluções mod 5, o CRT garante 2\cdot 2=4 soluções distintas modulo 15. Os pares possíveis são:
(1\!\!\pmod{3},\,1\!\!\pmod{5}),\quad (1\!\!\pmod{3},\,4\!\!\pmod{5}),\quad (2\!\!\pmod{3},\,1\!\!\pmod{5}),\quad (2\!\!\pmod{3},\,4\!\!\pmod{5}).
Agora encontro representantes em \{0,1,\dots,14\} para cada par.

Passo 6

Determinar representantes concretos (uma forma direta é testar candidatos ou resolver pequenos sistemas):
  • Para (1\!\!\pmod{3},\,1\!\!\pmod{5}) escolhemos x=1, pois 1\equiv1\pmod{3} e 1\equiv1\pmod{5}.
  • Para (1\!\!\pmod{3},\,4\!\!\pmod{5}) procuramos x com x\equiv1\pmod{3} e x\equiv4\pmod{5}. Um candidato simples é x=4 (verifique: 4\equiv1\pmod{3} e 4\equiv4\pmod{5}).
  • Para (2\!\!\pmod{3},\,1\!\!\pmod{5}) um representante é x=11 (verifique: 11\equiv2\pmod{3} e 11\equiv1\pmod{5}).
  • Para (2\!\!\pmod{3},\,4\!\!\pmod{5}) um representante é x=14 (verifique: 14\equiv2\pmod{3} e 14\equiv4\pmod{5}).
Assim os quatro candidatos em \mathbb{Z}_{15} são
x\in\{1,4,11,14\}.

Passo 7

Verificação direta em \mathbb{Z}_{15} (mostrar que realmente anulam p):
  • Para x=1: 1^{2}-1=0\equiv 0\pmod{15}.
  • Para x=4: 4^{2}-1=16-1=15\equiv 0\pmod{15}.
  • Para x=11: 11^{2}-1=121-1=120\equiv 0\pmod{15} (pois 120=15\cdot 8).
  • Para x=14: 14^{2}-1=196-1=195\equiv 0\pmod{15} (pois 195=15\cdot 13).
Portanto \displaystyle p(x) tem de fato as quatro raízes \displaystyle 1,4,11,14 em \displaystyle \mathbb{Z}_{15}.

Passo 8

Explicação por que isso não contradiz o teorema “um polinômio de grau n tem no máximo n raízes”:
O teorema clássico que afirma que um polinômio não nulo de grau \displaystyle n tem no máximo \displaystyle n raízes vale quando se trabalha sobre um corpo (field) ou, mais geralmente, sobre um domínio integral — isto é, em anéis sem divisores de zero. A ideia da prova é: se \alpha é raiz, então (x-\alpha) divide o polinômio; ao dividir sucessivamente, cada raiz distinta diminui o grau em pelo menos 1, então não podem existir mais do que n raízes distintas.
No entanto \displaystyle \mathbb{Z}_{15} não é um domínio integral: ele tem divisores de zero, por exemplo 3\cdot 5\equiv 0\pmod{15} com 3\not\equiv 0 e 5\not\equiv 0. Por causa disso, um produto não nulo de dois fatores não-nulos pode ser congruente a zero, e assim um polinômio fatorado como (x-1)(x+1) pode anular-se para valores em que nem (x-1) nem (x+1) são nulos separadamente, bastando que seus valores sejam divisores de zero cujo produto seja 0. Exemplo concreto aqui: para x=4 temos x-1\equiv 3 e x+1\equiv 5, e 3\cdot 5\equiv 0\pmod{15}, então (x-1)(x+1)\equiv 0 mesmo sem nenhum dos fatores ser 0 isoladamente.
Portanto não há contradição: o teorema dos “no máximo n raízes” exige a hipótese de não existirem divisores de zero (por exemplo, trabalhar num corpo como \mathbb{Z}_{p} com p primo). Em \mathbb{Z}_{15} essa hipótese falha, e por isso podemos ter mais raízes do que o grau.

Resposta

1,4,11,14 são as quatro raízes em \mathbb{Z}_{15}.
Não há contradição porque o teorema dos no máximo n raízes exige que o anel seja um domínio integral (por exemplo um corpo); \mathbb{Z}_{15} tem divisores de zero ( 3\cdot5\equiv0), então a hipótese do teorema não se cumpre.

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