Mostre que o polinômio
tem 4 raízes em
. Por que esse fato não contradiz o teorema que diz um polinômio de grau
tem no máximo
raízes?
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
visto em
e pede duas coisas: (a) mostrar que
tem 4 raízes em
; (b) explicar por que esse fato não contradiz o teorema que afirma que um polinômio de grau
tem no máximo
raízes. Informações relevantes: o coeficiente e os cálculos são feitos em
(isto é, congruências módulo
); o grau de
é
. A partir daqui vou resolver e explicar passo a passo.
Passo 2
Queremos achar todos os
tais que
isto é,
Uma maneira limpa de proceder é usar o fato de que
e aplicar o Teorema Chinês dos Restos (CRT): resolver a congruência módulo
e módulo
e combinar soluções. Antes de aplicar o CRT, vou resolver as congruências mais simples.
Passo 3
Resolver
.
Os restos representativos em
são
. Calculamos os quadrados:
Logo as soluções em
são
Passo 4
Resolver
.
Os restos representativos em
são
. Os quadrados relevantes são:
Portanto as soluções em
são
Passo 5
Aplicar o CRT: cada solução módulo
corresponde a um par de soluções (mod
, mod
). Como há
soluções mod
e
soluções mod
, o CRT garante
soluções distintas modulo
. Os pares possíveis são:
Agora encontro representantes em
para cada par.
Passo 6
Determinar representantes concretos (uma forma direta é testar candidatos ou resolver pequenos sistemas):
- Para
escolhemos , pois e . - Para
procuramos com e . Um candidato simples é (verifique: e ). - Para
um representante é (verifique: e ). - Para
um representante é (verifique: e ).
Assim os quatro candidatos em
são
Passo 7
Verificação direta em
(mostrar que realmente anulam
):
- Para
: . - Para
: . - Para
: (pois ). - Para
: (pois ).
Portanto
tem de fato as quatro raízes
em
.
Passo 8
Explicação por que isso não contradiz o teorema “um polinômio de grau
tem no máximo
raízes”:
O teorema clássico que afirma que um polinômio não nulo de grau
tem no máximo
raízes vale quando se trabalha sobre um corpo (field) ou, mais geralmente, sobre um domínio integral — isto é, em anéis sem divisores de zero. A ideia da prova é: se
é raiz, então
divide o polinômio; ao dividir sucessivamente, cada raiz distinta diminui o grau em pelo menos
, então não podem existir mais do que
raízes distintas.
No entanto
não é um domínio integral: ele tem divisores de zero, por exemplo
com
e
. Por causa disso, um produto não nulo de dois fatores não-nulos pode ser congruente a zero, e assim um polinômio fatorado como
pode anular-se para valores em que nem
nem
são nulos separadamente, bastando que seus valores sejam divisores de zero cujo produto seja
. Exemplo concreto aqui: para
temos
e
, e
, então
mesmo sem nenhum dos fatores ser
isoladamente.
Portanto não há contradição: o teorema dos “no máximo
raízes” exige a hipótese de não existirem divisores de zero (por exemplo, trabalhar num corpo como
com
primo). Em
essa hipótese falha, e por isso podemos ter mais raízes do que o grau.
Resposta
Não há contradição porque o teorema dos no máximo
raízes exige que o anel seja um domínio integral (por exemplo um corpo);
tem divisores de zero (
), então a hipótese do teorema não se cumpre.