Determine quais dos conjuntos abaixo são ideais de \mathbb{Q}[x]. Em caso afirmativo de termine o polinômio mônico p(x) gerador do ideal e se o ideal é maximal.
J=\{(x) \in \mathbb{Q}[x] \mid f(1)=f(7)=0\};

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
J=\{\,f\in\mathbb{Q}[x]\mid f(1)=f(7)=0\,\}.
Perguntas que precisamos responder:
  1. \;J é um ideal de \mathbb{Q}[x]?
  2. Se sim, determinar o polinômio mônico \,p(x) que gera o ideal (isto é, \,J=(p)\,).
  3. O ideal é maximal?
Informações relevantes dadas: toda função em J anula em x=1 e x=7.

Passo 2

Mostrando que J é um ideal (passo a passo, sem pular etapas).
  • Primeiro, 0\in J porque 0(1)=0 e 0(7)=0. Então J não é vazio.
  • Fechamento por soma: se f,g\in J então f(1)=g(1)=0 e f(7)=g(7)=0. Logo
(f+g)(1)=f(1)+g(1)=0+0=0
e
(f+g)(7)=f(7)+g(7)=0+0=0,
portanto f+g\in J.
  • Fechamento por multiplicação por um elemento qualquer de \mathbb{Q}[x]: seja h\in\mathbb{Q}[x] e f\in J. Então
(hf)(1)=h(1)f(1)=h(1)\cdot 0=0
e
(hf)(7)=h(7)f(7)=h(7)\cdot 0=0,
portanto hf\in J.
Como J contém 0, é fechado por soma e por multiplicação por elementos de \mathbb{Q}[x], concluímos que J é um ideal de \mathbb{Q}[x].

Passo 3

Agora vamos encontrar um gerador mônico de J. Usamos o Teorema do Fator (Factor Theorem) e propriedades de divisibilidade em \mathbb{Q}[x].
  • Teorema do Fator (explicado): se a\in\mathbb{Q} e f\in\mathbb{Q}[x] satisfaz f(a)=0, então o polinômio linear (x-a) divide f. Ou seja, existe q(x)\in\mathbb{Q}[x] tal que f(x)=(x-a)q(x). Isso é direto da divisão de polinômios: dividir f por (x-a) dá resto f(a), e se f(a)=0 o resto é zero.
  • Aplicando ao nosso caso: se f\in J então f(1)=0 e f(7)=0. Pelo Teorema do Fator, (x-1) divide f e (x-7) divide f.
  • Como (x-1) e (x-7) são polinômios lineares com raízes distintas, eles são coprimos em \mathbb{Q}[x]. Para ver isso explicitamente note que
(x-1)-(x-7)=6,
e 6 é unidade em \mathbb{Q}[x] até multiplicação por 1/6; isto mostra que existem polinômios (na verdade constantes em \mathbb{Q}) que combinam (x-1) e (x-7) para obter 1, logo o máximo divisor comum é 1.
  • Se dois polinômios são coprimos e ambos divisam f, então o produto deles também divide f. Portanto existe q(x)\in\mathbb{Q}[x] tal que
f(x)=(x-1)(x-7)\,q(x).
  • Isso mostra que todo f\in J é múltiplo de (x-1)(x-7), ou seja J\subseteq\bigl((x-1)(x-7)\bigr).
  • A inclusão oposta é imediata: se g(x)=(x-1)(x-7)h(x) então claramente g(1)=g(7)=0, logo \bigl((x-1)(x-7)\bigr)\subseteq J.
  • Assim
J=\bigl((x-1)(x-7)\bigr).
  • Tornando o gerador mônico: o polinômio produto já é monic porque ambos fatores são monicos, então podemos escolher
p(x)=(x-1)(x-7).
Expandindo para uma forma polinomial mais familiar:
p(x)=x^2-8x+7.

Passo 4

Verificando se o ideal é maximal (explicação didática).
  • Fato útil: em \mathbb{Q}[x] (um domínio de polinômios sobre um corpo), um ideal principal (f) é maximal se e somente se f é irreduzível sobre \mathbb{Q}. Isso vem do isomorfismo \mathbb{Q}[x]/(f) ser um corpo exatamente quando f é irreduzível.
  • Nosso p(x)=x^2-8x+7 factoriza como já vimos:
p(x)=(x-1)(x-7).
Portanto p(x) é redutível (tem fatores lineares em \mathbb{Q}[x]).
  • Como p não é irreduzível, o ideal (p) não é maximal. Uma maneira rápida de ver: os ideais (x-1) e (x-7) são ideais maximais (gerados por polinômios lineares) e contêm (p), por exemplo (p)\subset (x-1), portanto (p) não pode ser maximal. Alternativamente, pelo Teorema Chinês do Resto,
\mathbb{Q}[x]/\bigl((x-1)(x-7)\bigr)\cong\mathbb{Q}[x]/(x-1)\times\mathbb{Q}[x]/(x-7)\cong\mathbb{Q}\times\mathbb{Q},
que não é um corpo, confirmando que (p) não é maximal.

Resposta

J é um ideal de \mathbb{Q}[x].\n
Polinômio mônico gerador: \;p(x)=x^{2}-8x+7=(x-1)(x-7).\n
O ideal (p) (ou seja, J) não é maximal.

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