Determine quais dos conjuntos abaixo são ideais de
. Em caso afirmativo de termine o polinômio mônico
gerador do ideal e se o ideal é maximal.
;
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
Perguntas que precisamos responder:
-
é um ideal de ? - Se sim, determinar o polinômio mônico
que gera o ideal (isto é, ). - O ideal é maximal?
Informações relevantes dadas: toda função em
anula em
e
.
Passo 2
Mostrando que
é um ideal (passo a passo, sem pular etapas).
- Primeiro,
porque e . Então não é vazio. - Fechamento por soma: se
então e . Logo
e
portanto
.
- Fechamento por multiplicação por um elemento qualquer de
: seja e . Então
e
portanto
.
Como
contém
, é fechado por soma e por multiplicação por elementos de
, concluímos que
é um ideal de
.
Passo 3
Agora vamos encontrar um gerador mônico de
. Usamos o Teorema do Fator (Factor Theorem) e propriedades de divisibilidade em
.
- Teorema do Fator (explicado): se
e satisfaz , então o polinômio linear divide . Ou seja, existe tal que . Isso é direto da divisão de polinômios: dividir por dá resto , e se o resto é zero. - Aplicando ao nosso caso: se
então e . Pelo Teorema do Fator, divide e divide . - Como
e são polinômios lineares com raízes distintas, eles são coprimos em . Para ver isso explicitamente note que
e
é unidade em
até multiplicação por
; isto mostra que existem polinômios (na verdade constantes em
) que combinam
e
para obter
, logo o máximo divisor comum é
.
- Se dois polinômios são coprimos e ambos divisam
, então o produto deles também divide . Portanto existe tal que
- Isso mostra que todo
é múltiplo de , ou seja . - A inclusão oposta é imediata: se
então claramente , logo . - Assim
- Tornando o gerador mônico: o polinômio produto já é monic porque ambos fatores são monicos, então podemos escolher
Expandindo para uma forma polinomial mais familiar:
Passo 4
Verificando se o ideal é maximal (explicação didática).
- Fato útil: em
(um domínio de polinômios sobre um corpo), um ideal principal é maximal se e somente se é irreduzível sobre . Isso vem do isomorfismo ser um corpo exatamente quando é irreduzível. - Nosso
factoriza como já vimos:
Portanto
é redutível (tem fatores lineares em
).
- Como
não é irreduzível, o ideal não é maximal. Uma maneira rápida de ver: os ideais e são ideais maximais (gerados por polinômios lineares) e contêm , por exemplo , portanto não pode ser maximal. Alternativamente, pelo Teorema Chinês do Resto,
que não é um corpo, confirmando que
não é maximal.
Resposta
Polinômio mônico gerador:
O ideal