Seja o conjunto
X=\{2,3,4,5,10,12,15,20,25,\}
com a relação de divisão, i.e
a T b \quad \text { se } \quad a \text { divide } b .
Encontre os elementos minimais e maximais de X. O conjunto X possui mínimo e/ou máximo?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
X=\{2,3,4,5,10,12,15,20,25\}
e a relação T em X definida por: a\\ T\\ b se a divide b. As perguntas são:
  1. Encontrar os elementos minimais de X.
  2. Encontrar os elementos maximais de X.
  3. Dizer se X possui mínimo e/ou máximo.
Informações relevantes dadas: os elementos de X (listados acima) e que a relação de ordem é a divisibilidade entre elementos de X.

Passo 2

Primeiro vamos fixar o significado exato dos termos (vou explicar devagar, como se estivéssemos estudando para a prova).
Definições importantes:
  • Um elemento m\in X é minim(al) (isto é, minimal) se não existe x\in X com x\neq m tal que x divide m. Em outras palavras, não há nenhum outro elemento de X estritamente menor (pela relação divisibilidade) que chegue em m.
  • Um elemento M\in X é maxim(al) (isto é, maximal) se não existe x\in X com x\neq M tal que M divide x. Ou seja, não há nenhum outro elemento de X estritamente maior que é múltiplo de M.
  • Um mínimo (mínimo global) é um elemento m\in X que divide todos os outros elementos de X. Se existir, é único.
  • Um máximo (máximo global) é um elemento M\in X que é divisível por todos os outros elementos de X. Se existir, é único.
Observação chave (útil na prova): todo mínimo é minimal, todo máximo é maximal. A recíproca não é verdadeira em geral: pode haver vários minimais sem existir um mínimo.

Passo 3

Agora vamos comparar elementos dentro de X. Para cada elemento vou listar (a) os divisores em X diferentes dele (ou seja, elementos de X que o dividem) e (b) os múltiplos em X diferentes dele (ou seja, elementos de X que são divisíveis por ele). Isso deixa claro quem é menor/maior na relação.
  • Para 2:
    • divisores em X (exceto ele mesmo): nenhum.
    • múltiplos em X (exceto ele mesmo): 4,10,12,20 porque 2\mid 4, 2\mid 10, 2\mid 12, 2\mid 20.
  • Para 3:
    • divisores em X: nenhum.
    • múltiplos em X: 12,15 porque 3\mid 12, 3\mid 15.
  • Para 4:
    • divisores em X: 2 porque 2\mid 4.
    • múltiplos em X: 12,20 porque 4\mid 12, 4\mid 20.
  • Para 5:
    • divisores em X: nenhum.
    • múltiplos em X: 10,15,20,25 porque 5\mid 10, 5\mid 15, 5\mid 20, 5\mid 25.
  • Para 10:
    • divisores em X: 2,5 porque 2\mid 10, 5\mid 10.
    • múltiplos em X: 20 porque 10\mid 20.
  • Para 12:
    • divisores em X: 2,3,4 porque 2\mid 12, 3\mid 12, 4\mid 12.
    • múltiplos em X: nenhum (não há x\in X com 12\mid x e x\neq 12).
  • Para 15:
    • divisores em X: 3,5 porque 3\mid 15, 5\mid 15.
    • múltiplos em X: nenhum.
  • Para 20:
    • divisores em X: 2,4,5,10 porque 2\mid 20, 4\mid 20, 5\mid 20, 10\mid 20.
    • múltiplos em X: nenhum.
  • Para 25:
    • divisores em X: 5 porque 5\mid 25.
    • múltiplos em X: nenhum.

Passo 4

Agora identificamos os elementos minimais: lembre-se, um elemento é minimal se não for dividido por nenhum outro distinto em X. Olhando para a lista de "divisores em X" de cada elemento:
  • \,2 tem divisores em X (exceto ele) = nenhum → portanto \,2 é minimal.
  • \,3 tem divisores em X = nenhum → \,3 é minimal.
  • \,4 tem divisor 2 → não é minimal.
  • \,5 tem divisores em X = nenhum → \,5 é minimal.
  • \,10 tem divisores 2,5 → não é minimal.
  • \,12 tem divisores 2,3,4 → não é minimal.
  • \,15 tem divisores 3,5 → não é minimal.
  • \,20 tem divisores 2,4,5,10 → não é minimal.
  • \,25 tem divisor 5 → não é minimal.
Portanto, os elementos minimais do conjunto X são \,2,3,5.

Passo 5

Agora identificamos os elementos maximais: um elemento é maximal se não divide nenhum outro distinto em X. Olhando para a lista de "múltiplos em X" de cada elemento:
  • \,2 tem múltiplos em X (exceto ele) → não é maximal.
  • \,3 tem múltiplos → não é maximal.
  • \,4 tem múltiplos → não é maximal.
  • \,5 tem múltiplos → não é maximal.
  • \,10 tem múltiplo 20 → não é maximal.
  • \,12 não tem múltiplos em X \,12 é maximal.
  • \,15 não tem múltiplos em X \,15 é maximal.
  • \,20 não tem múltiplos em X \,20 é maximal.
  • \,25 não tem múltiplos em X \,25 é maximal.
Portanto, os elementos maximais de X são \,12,15,20,25.

Passo 6

Verificação de existência de mínimo e máximo:
  • Para existir um mínimo m em X, precisaríamos de um m que divide todos os elementos de X. Examine os candidatos minimais \,2,3,5:
    • \,2 não divide \,3 nem \,5, logo não divide todos os elementos.
    • \,3 não divide \,2 nem \,5.
    • \,5 não divide \,2 nem \,3.
      Assim, não existe nenhum m\in X que divida todos os elementos de X. Conclusão: X não possui mínimo.
  • Para existir um máximo M em X, precisaríamos de um M que seja divisível por todos os elementos de X. Observe os candidatos maximal 12,15,20,25:
    • \,12 não é divisível por \,5 ou \,25, por exemplo.
    • \,15 não é divisível por \,2 ou \,4 ou \,20.
    • \,20 não é divisível por \,3 ou \,15 ou \,25.
    • \,25 não é divisível por \,2 nem por \,3.
      Portanto não há elemento em X divisível por todos os outros. Conclusão: X não possui máximo.

Resposta

Elementos minimais: 2,3,5.
Elementos maximais: 12,15,20,25.
Mínimo: não.
Máximo: não.

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