Seja o conjunto
com a relação de divisão, i.e
Encontre os elementos minimais e maximais de
. O conjunto
possui mínimo e/ou máximo?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e a relação
em
definida por:
se
divide
. As perguntas são:
- Encontrar os elementos minimais de
. - Encontrar os elementos maximais de
. - Dizer se
possui mínimo e/ou máximo.
Informações relevantes dadas: os elementos de
(listados acima) e que a relação de ordem é a divisibilidade entre elementos de
.
Passo 2
Primeiro vamos fixar o significado exato dos termos (vou explicar devagar, como se estivéssemos estudando para a prova).
Definições importantes:
- Um elemento
é minim(al) (isto é, minimal) se não existe com tal que divide . Em outras palavras, não há nenhum outro elemento de estritamente menor (pela relação divisibilidade) que chegue em . - Um elemento
é maxim(al) (isto é, maximal) se não existe com tal que divide . Ou seja, não há nenhum outro elemento de estritamente maior que é múltiplo de . - Um mínimo (mínimo global) é um elemento
que divide todos os outros elementos de . Se existir, é único. - Um máximo (máximo global) é um elemento
que é divisível por todos os outros elementos de . Se existir, é único.
Observação chave (útil na prova): todo mínimo é minimal, todo máximo é maximal. A recíproca não é verdadeira em geral: pode haver vários minimais sem existir um mínimo.
Passo 3
Agora vamos comparar elementos dentro de
. Para cada elemento vou listar (a) os divisores em
diferentes dele (ou seja, elementos de
que o dividem) e (b) os múltiplos em
diferentes dele (ou seja, elementos de
que são divisíveis por ele). Isso deixa claro quem é menor/maior na relação.
-
Para
: - divisores em
(exceto ele mesmo): nenhum. - múltiplos em
(exceto ele mesmo): porque , , , .
- divisores em
-
Para
: - divisores em
: nenhum. - múltiplos em
: porque , .
- divisores em
-
Para
: - divisores em
: porque . - múltiplos em
: porque , .
- divisores em
-
Para
: - divisores em
: nenhum. - múltiplos em
: porque , , , .
- divisores em
-
Para
: - divisores em
: porque , . - múltiplos em
: porque .
- divisores em
-
Para
: - divisores em
: porque , , . - múltiplos em
: nenhum (não há com e ).
- divisores em
-
Para
: - divisores em
: porque , . - múltiplos em
: nenhum.
- divisores em
-
Para
: - divisores em
: porque , , , . - múltiplos em
: nenhum.
- divisores em
-
Para
: - divisores em
: porque . - múltiplos em
: nenhum.
- divisores em
Passo 4
Agora identificamos os elementos minimais: lembre-se, um elemento é minimal se não for dividido por nenhum outro distinto em
. Olhando para a lista de "divisores em
" de cada elemento:
-
tem divisores em (exceto ele) = nenhum → portanto é minimal. -
tem divisores em = nenhum → é minimal. -
tem divisor → não é minimal. -
tem divisores em = nenhum → é minimal. -
tem divisores → não é minimal. -
tem divisores → não é minimal. -
tem divisores → não é minimal. -
tem divisores → não é minimal. -
tem divisor → não é minimal.
Portanto, os elementos minimais do conjunto
são
.
Passo 5
Agora identificamos os elementos maximais: um elemento é maximal se não divide nenhum outro distinto em
. Olhando para a lista de "múltiplos em
" de cada elemento:
-
tem múltiplos em (exceto ele) → não é maximal. -
tem múltiplos → não é maximal. -
tem múltiplos → não é maximal. -
tem múltiplos → não é maximal. -
tem múltiplo → não é maximal. -
não tem múltiplos em → é maximal. -
não tem múltiplos em → é maximal. -
não tem múltiplos em → é maximal. -
não tem múltiplos em → é maximal.
Portanto, os elementos maximais de
são
.
Passo 6
Verificação de existência de mínimo e máximo:
-
Para existir um mínimo
em , precisaríamos de um que divide todos os elementos de . Examine os candidatos minimais : -
não divide nem , logo não divide todos os elementos. -
não divide nem . -
não divide nem .
Assim, não existe nenhumque divida todos os elementos de . Conclusão: não possui mínimo.
-
-
Para existir um máximo
em , precisaríamos de um que seja divisível por todos os elementos de . Observe os candidatos maximal : -
não é divisível por ou , por exemplo. -
não é divisível por ou ou . -
não é divisível por ou ou . -
não é divisível por nem por .
Portanto não há elemento emdivisível por todos os outros. Conclusão: não possui máximo.
-
Resposta
Elementos minimais:
.
Elementos maximais: .
Mínimo: não.
Máximo: não.
Elementos maximais:
Mínimo: não.
Máximo: não.