Seja T: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear dada por
T(x, y, z, w)=(x+2 y-2 z-w, 2 x+4 y+z+w, x+2 y+3 z+2 w)
a) ( 1,25 \mathrm{pt} ) Determine \operatorname{ker} T e encontre uma base.
b) (1,25 pt) Determine \operatorname{Im} T e encontre uma base.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3,\qquad T(x,y,z,w)=(x+2y-2z-w,\;2x+4y+z+w,\;x+2y+3z+2w),
e pede (a) o núcleo de T (ou seja, \ker T) com uma base, e (b) a imagem de T (ou seja, \Im T) com uma base.
Para \ker T precisamos resolver T(x,y,z,w)=(0,0,0). Para \Im T basta olhar as colunas da matriz de T e extrair um conjunto gerador independente.

Passo 2

Escrevendo as equações homogêneas de \ker T, temos
x+2y-2z-w=0
2x+4y+z+w=0
x+2y+3z+2w=0
Subtraindo duas vezes a primeira da segunda:
(2x+4y+z+w)-2(x+2y-2z-w)=5z+3w=0.
Subtraindo a primeira da terceira dá a mesma relação 5z+3w=0. Logo sobra apenas
5z+3w=0,\quad x+2y-2z-w=0.

Passo 3

Da relação 5z+3w=0 vem
z=-\tfrac{3}{5}\,w.
Substituindo em x+2y-2z-w=0 achamos
x+2y-2\Bigl(-\tfrac{3}{5}w\Bigr)-w = x+2y+\tfrac{6}{5}w -w = x+2y+\tfrac{1}{5}w=0
portanto
x=-2y-\tfrac{1}{5}w.
Logo o vetor genérico do núcleo é
(x,y,z,w)=\Bigl(-2y-\tfrac15w,\;y,\;-\tfrac35w,\;w\Bigr) = y\,(-2,1,0,0) \;+\; w\,\Bigl(-\tfrac15,0,-\tfrac35,1\Bigr).
Multiplicando o segundo vetor por 5 para ficar inteiro, temos base de \ker T:
\ker T=\mathrm{span}\bigl\{(-2,1,0,0),\;(-1,0,-3,5)\bigr\}.

Passo 4

Para \Im T, escrevemos a matriz de T e olhamos suas colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & -1\\\\ 2 & 4 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 3 & 2 \end{pmatrix},
coluna 1 =(1,2,1), coluna 2 =2\,(1,2,1) (logo dependente), coluna 3 =(-2,1,3), coluna 4 \in\span\{\text{col}_1,\text{col}_3\}.
Testando combinação \alpha(1,2,1)+\beta(-2,1,3)=(-1,1,2) achamos \alpha=\tfrac15, \beta=\tfrac35, confirmando dependência da coluna 4.
Assim colunas 1 e 3 são independentes e formam uma base de \Im T:
\Im T=\mathrm{span}\bigl\{(1,2,1),\;(-2,1,3)\bigr\}.

Resposta

(a) \ker T=\mathrm{span}\bigl\{(-2,1,0,0),\;(-1,0,-3,5)\bigr\}.\n(b) \Im T=\mathrm{span}\bigl\{(1,2,1),\;(-2,1,3)\bigr\}.

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