e pede (a) o núcleo de T (ou seja, \ker T) com uma base, e (b) a imagem de T (ou seja, \Im T) com uma base.
Para \ker T precisamos resolver T(x,y,z,w)=(0,0,0). Para \Im T basta olhar as colunas da matriz de T e extrair um conjunto gerador independente.
Passo 2
Escrevendo as equações homogêneas de \ker T, temos
x+2y-2z-w=0
2x+4y+z+w=0
x+2y+3z+2w=0
Subtraindo duas vezes a primeira da segunda:
(2x+4y+z+w)-2(x+2y-2z-w)=5z+3w=0.
Subtraindo a primeira da terceira dá a mesma relação 5z+3w=0. Logo sobra apenas
coluna 1 =(1,2,1), coluna 2 =2\,(1,2,1) (logo dependente), coluna 3 =(-2,1,3), coluna 4 \in\span\{\text{col}_1,\text{col}_3\}.
Testando combinação \alpha(1,2,1)+\beta(-2,1,3)=(-1,1,2) achamos \alpha=\tfrac15, \beta=\tfrac35, confirmando dependência da coluna 4.
Assim colunas 1 e 3 são independentes e formam uma base de \Im T: