a) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Verifique que \beta=\{(0,0,1),(1,1,0),(0,1,-1)\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.
b) (1,0 pt) Sendo v=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, determine as coordenadas de v em relação à base \beta.
c) (1,0 pt) Determine T(x, y, z).
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e dá as imagens de três vetores \beta=\{(0,0,1),(1,1,0),(0,1,-1)\}. a) mostrar que \beta é base de \mathbb{R}^3; b) expressar um vetor genérico v=(x,y,z) nas coordenadas de \beta; c) obter a fórmula de T(x,y,z).
Passo 2
Para verificar que \beta é base, checamos que seus vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3. Calculemos o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores: