Considere T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} o operador linear tal que
T(0,0,1)=(-2,1,-3), T(1,1,0)=(0,1,1), T(0,1,-1)=(1,1,3)
a) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Verifique que \beta=\{(0,0,1),(1,1,0),(0,1,-1)\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.
b) (1,0 pt) Sendo v=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, determine as coordenadas de v em relação à base \beta.
c) (1,0 pt) Determine T(x, y, z).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e dá as imagens de três vetores
\beta=\{(0,0,1),(1,1,0),(0,1,-1)\}.
a) mostrar que \beta é base de \mathbb{R}^3;
b) expressar um vetor genérico v=(x,y,z) nas coordenadas de \beta;
c) obter a fórmula de T(x,y,z).

Passo 2

Para verificar que \beta é base, checamos que seus vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3. Calculemos o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} \;=\; 0\cdot(1\cdot(-1)-1\cdot0) -1\cdot(0\cdot(-1)-1\cdot1) +0\cdot(0\cdot0-1\cdot1) =1\neq0.
Como o determinante é não nulo, \beta é base de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para achar as coordenadas (a,b,c) de v=(x,y,z) em relação a \beta, resolvemos
a(0,0,1)+b(1,1,0)+c(0,1,-1)=(x,y,z).
Das componentes segue
b=x, \quad b+c=y, \quad a-c=z.
Logo
b=x,\quad c=y-x,\quad a=z+c=z+y-x.

Passo 4

Pela linearidade,
T(x,y,z) =T\bigl(a(0,0,1)+b(1,1,0)+c(0,1,-1)\bigr) =a\,T(0,0,1)+b\,T(1,1,0)+c\,T(0,1,-1).
Substituindo a=z+y-x, b=x, c=y-x e as imagens dadas:
T(x,y,z) =(z+y-x)(-2,1,-3)+x(0,1,1)+(y-x)(1,1,3).
Somando componente a componente, obtemos
T(x,y,z)=(x-y-2z,\,-x+2y+z,\;x-3z).

Resposta

(a) \beta é base pois o determinante da matriz formada por seus vetores é \neq0.\n
(b) As coordenadas de v=(x,y,z) em \beta são
(a,b,c)=(z+y-x,\;x,\;y-x).
(c) \displaystyle T(x,y,z)=(x-y-2z,\,-x+2y+z,\;x-3z).

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