A imagem \operatorname{Im}(T) é o subespaço gerado pelas colunas da matriz A (o chamado espaço coluna). Para encontrar uma base do espaço coluna, basta identificar quais colunas são linearmente independentes. Uma forma prática é fazer eliminação por linhas (operações elementares) e olhar os pivôs: os índices das colunas-pivô correspondem às colunas da matriz original que formam uma base da imagem.
O núcleo \operatorname{Ker}(T) é o conjunto de vetores x\in\mathbb{R}^3 tais que Ax=0. Para achar uma base do núcleo resolvemos o sistema homogêneo Ax=0, normalmente usando a forma escalonada reduzida.
Agora vamos aplicar eliminação por linhas em A. Começamos com
Para chegar à forma de linhas reduzida para leitura das equações, elimino o termo acima do pivô em \text{col}_2: \text{R}_1\leftarrow \text{R}_1-2\text{R}_2,
Os pivôs estão nas colunas 1\) e \(2\). Logo as colunas \(\text{col}_1\) e \(\text{col}_2\) da matriz original são linearmente independentes e formam uma base do espaço coluna.
Portanto uma base de \(\operatorname{Im}(T)\) é
\[\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]3\end{pmatrix}\right\}.
Verificação rápida (para fixar a ideia): a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras? Procuro a,b tais que a\,\text{col}_1+b\,\text{col}_2=\text{col}_3. Das componentes,
\begin{cases} a+2b=1,\\[4pt] 0\cdot a +1\cdot b=1, \end{cases}
da segunda equação segue b=1\]; então \(a=1-2\cdot1=-1. Conferindo a terceira componente: -1\cdot(-1)+1\cdot3=1+3=4. Logo \text{col}_3=-1\cdot\text{col}_1+1\cdot\text{col}_2 e é dependente — coerente com termos nulos na linha final.]
Portanto \operatorname{Ker}(T) é o subespaço unidimensional gerado por \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para conforto mental: o posto da matriz é 2 (duas colunas-pivô) e a nulidade é 1; pela fórmula posto + nulidade = dimensão do domínio temos 2+1=3, consistente.]