Seja T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) um operador linear cuja matriz na base canônica de P_{2}(\mathbb{R}), B=\left\{1, x, x^{2}\right\}, é dada por [T]_{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 4 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & -3\end{array}\right].
a) Quanto vale T(1), T(x) e T\left(x^{2}\right) ? Justifique a sua resposta !
b) Determine todos os autovalores de T.
c) Determine uma base para cada autoespaço de T.
d) O operador T é diagonalizável ? Justifique a sua resposta !
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dado: a base canônica de P_{2}(\mathbb{R}) é B=\{1,x,x^{2}\}.
O enunciado pede:
(a) calcular T(1),\;T(x) e T(x^{2});
(b) determinar todos os autovalores de T;
(c) determinar uma base para cada autoespaço (espaço próprio) de T;
(d) decidir se T é diagonalizável e justificar.]
Passo 2
Entendendo como ler a matriz em relação à base B (explicação passo a passo).
Quando temos uma base ordenada B=\{b_{1},b_{2},b_{3}\} e a matriz [T]_{B}, a j-ésima coluna de [T]_{B} contém as coordenadas de T(b_{j}) na base B.
Aqui b_{1}=1, b_{2}=x, b_{3}=x^{2}. Assim:
a primeira coluna são as coordenadas de T(1) em B;
a segunda coluna são as coordenadas de T(x) em B;
a terceira coluna são as coordenadas de T(x^{2}) em B.
Agora vou ler cada coluna da matriz e escrever o polinômio correspondente (cada entrada é o coeficiente do elemento da base na mesma ordem \{1,x,x^{2}\}).
Passo 3
Cálculo explícito de T(1),\;T(x),\;T(x^{2}).
Primeira coluna de [T]_{B} é \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Isso significaT(1)=1\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^{2}=1.
Segunda coluna é \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}. Isso significaT(x)=0\cdot 1 + 2\cdot x + 1\cdot x^{2}=2x+x^{2}.
Terceira coluna é \begin{pmatrix}4\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix}. Isso significaT(x^{2})=4\cdot 1 + 0\cdot x + (-3)\cdot x^{2}=4-3x^{2}.
Passo 4
Definição e método para encontrar autovalores (explicação).
Um número \lambda é autovalor se existe vetor não nulo v tal que T(v)=\lambda v.
Em coordenadas pela base B, isso é equivalente a encontrar \lambda tais que a matriz A-[\lambda]I não seja invertível, onde A=[T]_{B}.
Portanto buscamos as raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Passo 5
Cálculo do polinômio característico \det(A-\lambda I).
As raízes são obtidas impondo cada fator igual a zero:1-\lambda=0 \Rightarrow \lambda=1,\qquad 2-\lambda=0 \Rightarrow \lambda=2,\qquad -3-\lambda=0 \Rightarrow \lambda=-3.]
Passo 6
Conclusão sobre os autovalores.
Os autovalores de T são \lambda=1,\;2,\;-3.
Observação: são três autovalores distintos, cada um com multiplicidade algébrica 1.
Passo 7
Método para encontrar autoespaços: resolver (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda.
Vou resolver no sistema de coordenadas v=(a,b,c)^{T} que corresponde ao polinômio a+bx+cx^{2}.
O sistema (A+3I)(a,b,c)^{T}=0 gera:4a+4c=0,\qquad 5b=0,\qquad b=0.
Da segunda/terceira equações b=0. Da primeira a=-c. Tomando c=t parâmetro livre, obtemos v=t(-1,0,1).
Isso corresponde ao polinômio -1 + x^{2}, que normalmente escrevemos como x^{2}-1.
Portanto o autoespaço associado a \lambda=-3 éE_{-3}=\operatorname{span}\{x^{2}-1\}.]
Passo 11
Verificação de diagonalizabilidade (explicação didática).
Uma transformação linear em espaço de dimensão 3 é diagonalizável se existir uma base formada por 3 vetores próprios linearmente independentes.
Aqui encontrámos três autovalores distintos \lambda=1,2,-3. Para autovalores distintos, os vetores próprios correspondentes são sempre linearmente independentes (teorema padrão).
Além disso, cada autoespaço tem dimensão geométrica 1 e somando as dimensões obtemos 1+1+1=3, que é a dimensão do espaço.
Conclusão: existem 3 vetores próprios linearmente independentes, portanto T é diagonalizável.
Resposta
(a) T(1)=1, T(x)=2x+x^{2}, T(x^{2})=4-3x^{2}
(b) Os autovalores são \lambda=1,\;2,\;-3
(c) Bases dos autoespaços:
Para \lambda=1: \{1\}
Para \lambda=2: \{4+5x+x^{2}\}
Para \lambda=-3: \{x^{2}-1\}
(d) T é diagonalizável (há 3 autovalores distintos e uma base de 3 vetores próprios).