Considere o seguinte subespaço vetorial W \subset \mathbb{R}^{4} :
W=\langle(1,1,2 k, 4),(1,-1,-4,2),(0,-1,-3, k),(2, k, 1,5)\rangle
a) ( 1,5 \mathrm{pt} ) Determine a condição sobre k para que o subespaço acima possua dimensão 3.
b) (1,0 pt) Encontre uma base para W de acordo com o valor de k encontrado no ítem anterior.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = \langle v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\rangle\subset\mathbb{R}^{4}
onde
v_{1}=(1,1,2k,4),\quad v_{2}=(1,-1,-4,2),\quad v_{3}=(0,-1,-3,k),\quad v_{4}=(2,k,1,5).
O objetivo do item (a) é encontrar para quais valores de k temos \dim W=3, ou seja, as quatro geradoras são linearmente dependentes porém têm posto exatamente 3. Para isso vamos montar a matriz cujas linhas são v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} e estudar seu determinante. No item (b) vamos escolher três vetores independentes como base de W.

Passo 2

Formamos a matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2k & 4\\\\ 1 & -1 & -4 & 2\\\\ 0 & -1 & -3 & k\\\\ 2 & k & 1 & 5 \end{pmatrix}.
Para que \dim W=3 precisamos \det M=0 (dependência lin.) e existir algum menor 3\times3 não nulo (posto >=3).

Passo 3

Calculamos \det M por operações elementares. Subtraindo linha 1 de linha 2 e 2\timeslinha 1 de linha 4 obtemos
\det M = 1\cdot \det \begin{pmatrix} -2 & -4-2k & -2\\\\ -1 & -3 & k\\\ k-2 & 1-4k & -3 \end{pmatrix}.
Esse menor dá, após expansão,
\det M = -2\,(k-1)(k+1)(k+4).
Logo \det M=0 se, e somente se,
k\in\{1,\,-1,\,-4\}.

Passo 4

Para garantir posto exatamente 3, verificamos que, por exemplo, o menor formado pelas colunas 1,2, 3 e linhas 1,2, 3 é
\det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2k\\\\ 1 & -1 & -4\\\\ 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} =2(1-k).
Esse valor é não nulo sempre que k\neq1. Portanto, para k=-1 ou k=-4 temos \det M=0 e um menor 3\times3\neq0, garantindo \dim W=3. Se k=1, todos os menores 3\times3 apresentam zero (posto <=2).

Passo 5

Concluímos:
\dim W = 3 \quad\Longleftrightarrow\quad k=-1\text{ ou }k=-4.

Passo 6

Para k=-1 ou k=-4, já vimos que os vetores v_{1},v_{2},v_{3} permanecem independentes (seu menor 2(1-k)\neq0). Logo uma base de W é
\{\,v_{1},\,v_{2},\,v_{3}\}.
Explicitando para cada caso:
Para k=-1:
v_{1}=(1,1,-2,4),\; v_{2}=(1,-1,-4,2),\; v_{3}=(0,-1,-3,-1).
Para k=-4:
v_{1}=(1,1,-8,4),\; v_{2}=(1,-1,-4,2),\; v_{3}=(0,-1,-3,-4).

Resposta

(a) \dim W=3 se, e somente se, k\in\{-1,\,-4\}.
(b) Uma base para cada caso é
para k=-1:
\{(1,1,-2,4),\;(1,-1,-4,2),\;(0,-1,-3,-1)\},
para k=-4:
\{(1,1,-8,4),\;(1,-1,-4,2),\;(0,-1,-3,-4)\}.

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