a) ( 1,5 \mathrm{pt} ) Determine a condição sobre k para que o subespaço acima possua dimensão 3.
b) (1,0 pt) Encontre uma base para W de acordo com o valor de k encontrado no ítem anterior.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
W = \langle v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\rangle\subset\mathbb{R}^{4}
O objetivo do item (a) é encontrar para quais valores de k temos \dim W=3, ou seja, as quatro geradoras são linearmente dependentes porém têm posto exatamente 3. Para isso vamos montar a matriz cujas linhas são v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} e estudar seu determinante. No item (b) vamos escolher três vetores independentes como base de W.
Esse valor é não nulo sempre que k\neq1. Portanto, para k=-1 ou k=-4 temos \det M=0 e um menor 3\times3\neq0, garantindo \dim W=3. Se k=1, todos os menores 3\times3 apresentam zero (posto <=2).
Passo 5
Concluímos:
\dim W = 3 \quad\Longleftrightarrow\quad k=-1\text{ ou }k=-4.
Passo 6
Para k=-1 ou k=-4, já vimos que os vetores v_{1},v_{2},v_{3} permanecem independentes (seu menor 2(1-k)\neq0). Logo uma base de W é