Considere a, b constantes reais com a>b>0. Mostre que a série \sum\left(a^{n}-b^{n}\right)^{-1} converge se a>1 e diverge se a \leq 1.

Passo 1

Resumindo: temos constantes reais a e b tais que a>b>0, e queremos estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a^{n}-b^{n}}.
O conteúdo principal é o teste da divergência (se o termo geral não tende a zero, a série diverge) e o teste da comparação com uma série geométrica, para mostrar convergência quando a>1.

Passo 2

Mostrando que a série diverge se a\le1.
  • Se a<1, então a^{n}\to0 e também b^{n}\to0. Logo
a^{n}-b^{n}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{a^{n}-b^{n}}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;+\infty.
Em particular, o termo geral não tende a zero, então a série diverge por teste da divergência.
  • Se a=1, temos 1^{n}=1 e como b<1, b^{n}\to0. Assim
a^{n}-b^{n}=1 - b^{n}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{1-b^{n}}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;1\neq0,
de novo o termo geral não tende a zero, e a série diverge.

Passo 3

Mostrando que a série converge se a>1.
Para a>1 e b<a vemos que para todo n
a^{n}-b^{n} = a^{n}\Bigl(1 - \bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)^{n}\Bigr).
Como \frac{b}{a}<1, existe N tal que para n\ge N temos \bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)^{n}\le\tfrac12. Logo
a^{n}-b^{n}\ge a^{n}\Bigl(1-\tfrac12\Bigr)=\frac{a^{n}}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{a^{n}-b^{n}}\le \frac{2}{a^{n}}.
A série geométrica \sum 2/a^{n} converge porque 1/a<1. Pelo teste da comparação segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a^{n}-b^{n}}
converge também.

Resposta

A série diverge quando a\le1 e converge quando a>1.

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