Determine f de modo que g(f(x))=x para todo x pertencente ao domínio de f, sendo g dada por:
g(x)=3+\frac{5}{x+1}

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x) = 3 + \frac{5}{x+1}
e pede uma função f tal que
g\bigl(f(x)\bigr)=x
para todo x no domínio de f. Isso equivale a encontrar a inversa de g, isto é, f = g^{-1}.

Passo 2

Para inverter g, começamos escrevendo
y = 3 + \frac{5}{u+1},
onde y=g(u). Nosso objetivo é resolver essa equação para u em termos de y.

Passo 3

Subtraindo 3 de ambos os lados:
y - 3 = \frac{5}{u+1}.
Invertendo a fração e isolando u:
u + 1 = \frac{5}{y-3} \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{5}{y-3} - 1 = \frac{5 - (y-3)}{y-3} = \frac{8 - y}{y-3}.

Passo 4

Trocando o papel de u por x (isto é, tomando y=x), obtemos
f(x) = \frac{8 - x}{\,x - 3\,}.
O domínio natural de f é dado por x\neq 3 (para evitar divisão por zero) e coincide com o contradomínio de g, que exclui 3.

Resposta

A função procurada é
f(x) = \frac{8 - x}{x - 3},
com domínio x \neq 3.

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