Seja a \in \mathbb{R}, a \neq 0 e \vec{u}=(a, 2 a) um vetor do plano. Consideremos \vec{v} \| \vec{u} tal que \vec{u}-\vec{v}=(2 a, b) para algum b \in \mathbb{R}. Se \|\vec{u}-\vec{v}\|=20, calcule \|\vec{v}\|.

Passo 1

O enunciado dá um vetor \vec{u}=(a,2a) com a\neq0 e pede um vetor \vec{v} paralelo a \vec{u} tal que
\vec{u}-\vec{v}=(2a,b)
para algum b, sabendo que \|\vec{u}-\vec{v}\|=20.
Conteúdo: vetores paralelos e norma de vetor no plano. Vamos parametrizar \vec{v} como múltiplo de \vec{u} e usar a condição sobre \vec{u}-\vec{v}.

Passo 2

Como \vec{v}\parallel\vec{u}, existe escalar t tal que
\vec{v}=t\,\vec{u}=t\,(a,2a)=(ta,2ta).
Então
\vec{u}-\vec{v}=(a,2a)-(ta,2ta)=(1-t)(a,2a)=(\,a(1-t),\,2a(1-t)\,).
Isso deve ser igual a (2a,b).

Passo 3

Pelo componente a componente,
a(1-t)=2a\quad\Longrightarrow\quad1-t=2\quad\Longrightarrow\quad t=-1.
Em particular não precisamos do valor de b, mas nota-se que b=2a(1-t)=4a.

Passo 4

Com t=-1 temos \vec{u}-\vec{v}=(2a,4a). A norma é
\|\vec{u}-\vec{v}\| =\sqrt{(2a)^2+(4a)^2} =\sqrt{4a^2+16a^2} =\sqrt{20\,a^2} =2|a|\sqrt5.
Como isso vale 20, obtemos
2|a|\sqrt5=20 \quad\Longrightarrow\quad|a|=\frac{20}{2\sqrt5}=\frac{10}{\sqrt5}=2\sqrt5.

Passo 5

Agora \|\vec{v}\|=|t|\,\|\vec{u}\|. Primeiro
\|\vec{u}\| =\sqrt{a^2+(2a)^2} =\sqrt{5a^2} =|a|\sqrt5 =2\sqrt5\cdot\sqrt5 =2\cdot5 =10.
E como t=-1 |t|=1, concluímos
\|\vec{v}\|=1\cdot10=10.

Resposta

\|\vec{v}\|=10

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