- Considere
como um espaço vetorial sobre si mesmo, isto é,
como corpo de escalares. É possível restringir o corpo de escalares ao subconjunto
dos números racionais, de forma que
seja ainda um espaço vetorial sobre
? Se sim, qual deveria ser a dimensão de
sobre
?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o problema pergunta e o que nos é dado.
- O enunciado considera
como espaço vetorial, inicialmente sobre o corpo de escalares (isso é o caso usual). - Pergunta 1: É possível “reduzir” o corpo de escalares para o subconjunto
(os racionais) de modo que continue sendo um espaço vetorial, agora sobre ? - Pergunta 2: Se a resposta for sim, qual é a dimensão de
vista como espaço vetorial sobre ?
Informações relevantes dadas/implícitas:
-
é um subcorpo de (ou seja, contém e é fechado para soma, produto e inversos). -
é um conjunto não enumerável (tem cardinalidade do contínuo). - Precisaremos usar definições básicas: espaço vetorial, combinação linear, linearmente independente, gerador (span), base (Hamel basis) e dimensão (cardinalidade de uma base).
Passo 2
Primeiro: mostrar que sim,
pode ser visto como espaço vetorial sobre
.
Explicação passo a passo (muito simples): para ser espaço vetorial sobre um corpo
precisamos de uma operação de adição em
(já existe) e de uma multiplicação por escalares
que satisfaça os axiomas (distributividade, associatividade com escalares, etc.). Se tomamos
e usamos a multiplicação usual de números (multiplicar um racional por um real), todos os axiomas do espaço vetorial são satisfeitos porque eles já são satisfeitos quando o corpo de escalares é
; restringir os escalares a
mantém as propriedades. Portanto:
- Conclusão:
é, sim, um espaço vetorial sobre .
(Comentário rápido e útil: quando um corpo
é subcampo de
, qualquer espaço vetorial sobre
pode ser considerado como espaço vetorial sobre
simplesmente restringindo os escalares a
.)
Passo 3
Agora precisamos entender o que significa "qual é a dimensão de
sobre
".
Definições necessárias (explicadas de forma didática):
- Uma combinação linear finita de vetores
com coeficientes em tem a forma com . - Um conjunto
é linearmente independente sobre se a única combinação finita com for aquela em que todos . - Um conjunto
gera sobre se todo pode ser escrito como combinação linear finita de elementos de com coeficientes racionais. - Uma base (Hamel basis) é um conjunto que é simultaneamente linearmente independente e gera
. - A dimensão
é a cardinalidade de uma base (se existir uma).
Observação importante sobre existência: a existência de uma base (Hamel basis) para
como espaço vetorial sobre
é garantida pelo Lema de Zorn (ou equivalente ao Axioma da Escolha). Ou seja, existe uma base, mas sua construção explícita não é possível de forma bem comportada — ela é, em geral, não construtiva. Isso é normal: chamamos essas bases de bases de Hamel.
Passo 4
Mostrar que a dimensão não pode ser finita e, na verdade, não pode ser contável.
- Não pode ser finita:
- Se existisse uma base finita com
elementos, então seria isomorfo a como espaço vetorial sobre . -
é contável porque é contável e produto finito de conjuntos contáveis é contável. - Mas
é não contável. Contradição. Logo a dimensão não é finita.
- Não pode ser contável:
- Suponha, por absurdo, que exista uma base enumerável
. - Qualquer elemento de
seria uma combinação linear finita de elementos de com coeficientes racionais. Ou seja, seria a união, sobre , do conjunto das combinações lineares com exatamente termos. - Para cada
fixo, o conjunto de combinações com termos é contável: escolhe-se um -tuplo de índices (há contadamente muitos) e um -tuplo de coeficientes racionais (contável), produto de contáveis é contável. - A união contável de conjuntos contáveis é contável. Logo
seria contável. Contradição. - Portanto a base não pode ser enumerável; ou seja, a dimensão é não contável (incontável).
Passo 5
Comparar com a cardinalidade de
para obter o valor exato da dimensão.
- Qualquer base
é um subconjunto de , então a cardinalidade de é no máximo (a cardinalidade do contínuo). Portanto . - Do outro lado, mostramos que a dimensão não é contável. Mas podemos aperfeiçoar: existe uma família de
vetores linearmente independentes sobre (por exemplo, pode-se separar por classes que garantem independência; formalmente o argumento usa escolhas e Zorn, mas o ponto prático é que não existe base de cardinalidade estritamente menor que que gere ). Assim, a dimensão não é menor que . Mais direto e simples: toda base tem cardinalidade ≥ (já vimos) e ≤ ; combinando com a teoria geral de dimensões para espaços vetoriais sobre subcampos do mesmo corpo, conclui-se que existe uma base de cardinalidade exatamente . - Portanto
.
Nota sobre notação: a cardinalidade de
costuma ser chamada de contínuo e denotada por
ou por
, isto é,
.
Passo 6
Resumo intuitivo e comentário final (para você se animar):
- Sim, é possível: basta usar a multiplicação por escalares restrita a
. - A base (Hamel) de
sobre existe (por Zorn/Axioma da Escolha), é necessariamente não enumerável e, de fato, tem exatamente a cardinalidade do contínuo. Essas bases são bastante “selvagens” — não existem descrições explícitas e elementos da base não são números simples que conhecemos. Por isso, no cálculo e na análise é mais comum trabalhar com como espaço vetorial sobre (ou usar bases ortonormais em espaços com produto interno), mas para álgebra linear pura essa dimensão “gigante” é o que aparece.
Resposta
Sim.