1. Considere \mathbb{R} como um espaço vetorial sobre si mesmo, isto é, \mathbb{R} como corpo de escalares. É possível restringir o corpo de escalares ao subconjunto \mathbb{Q} dos números racionais, de forma que \mathbb{R} seja ainda um espaço vetorial sobre \mathbb{Q} ? Se sim, qual deveria ser a dimensão de \mathbb{R} sobre \mathbb{Q} ?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o problema pergunta e o que nos é dado.
  • O enunciado considera \mathbb{R} como espaço vetorial, inicialmente sobre o corpo de escalares \mathbb{R} (isso é o caso usual).
  • Pergunta 1: É possível “reduzir” o corpo de escalares para o subconjunto \mathbb{Q} (os racionais) de modo que \mathbb{R} continue sendo um espaço vetorial, agora sobre \mathbb{Q}?
  • Pergunta 2: Se a resposta for sim, qual é a dimensão de \mathbb{R} vista como espaço vetorial sobre \mathbb{Q}?
Informações relevantes dadas/implícitas:
  • \mathbb{Q} é um subcorpo de \mathbb{R} (ou seja, contém 0,1 e é fechado para soma, produto e inversos).
  • \mathbb{R} é um conjunto não enumerável (tem cardinalidade do contínuo).
  • Precisaremos usar definições básicas: espaço vetorial, combinação linear, linearmente independente, gerador (span), base (Hamel basis) e dimensão (cardinalidade de uma base).

Passo 2

Primeiro: mostrar que sim, \mathbb{R} pode ser visto como espaço vetorial sobre \mathbb{Q}.
Explicação passo a passo (muito simples): para ser espaço vetorial sobre um corpo F precisamos de uma operação de adição em \mathbb{R} (já existe) e de uma multiplicação por escalares F\times\mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfaça os axiomas (distributividade, associatividade com escalares, etc.). Se tomamos F=\mathbb{Q} e usamos a multiplicação usual de números (multiplicar um racional por um real), todos os axiomas do espaço vetorial são satisfeitos porque eles já são satisfeitos quando o corpo de escalares é \mathbb{R}; restringir os escalares a \mathbb{Q} mantém as propriedades. Portanto:
  • Conclusão: \mathbb{R} é, sim, um espaço vetorial sobre \mathbb{Q}.
(Comentário rápido e útil: quando um corpo K é subcampo de L, qualquer espaço vetorial sobre L pode ser considerado como espaço vetorial sobre K simplesmente restringindo os escalares a K.)

Passo 3

Agora precisamos entender o que significa "qual é a dimensão de \mathbb{R} sobre \mathbb{Q}".
Definições necessárias (explicadas de forma didática):
  • Uma combinação linear finita de vetores v_1,\dots,v_n com coeficientes em \mathbb{Q} tem a forma \sum_{i=1}^n q_i v_i com q_i\in\mathbb{Q}.
  • Um conjunto B\subset\mathbb{R} é linearmente independente sobre \mathbb{Q} se a única combinação finita \sum q_i b_i = 0 com q_i\in\mathbb{Q} for aquela em que todos q_i=0.
  • Um conjunto B gera \mathbb{R} sobre \mathbb{Q} se todo x\in\mathbb{R} pode ser escrito como combinação linear finita de elementos de B com coeficientes racionais.
  • Uma base (Hamel basis) é um conjunto que é simultaneamente linearmente independente e gera \mathbb{R}.
  • A dimensão \dim_{\mathbb{Q}}\mathbb{R} é a cardinalidade de uma base (se existir uma).
Observação importante sobre existência: a existência de uma base (Hamel basis) para \mathbb{R} como espaço vetorial sobre \mathbb{Q} é garantida pelo Lema de Zorn (ou equivalente ao Axioma da Escolha). Ou seja, existe uma base, mas sua construção explícita não é possível de forma bem comportada — ela é, em geral, não construtiva. Isso é normal: chamamos essas bases de bases de Hamel.

Passo 4

Mostrar que a dimensão não pode ser finita e, na verdade, não pode ser contável.
  1. Não pode ser finita:
  • Se existisse uma base finita com n elementos, então \mathbb{R} seria isomorfo a \mathbb{Q}^n como espaço vetorial sobre \mathbb{Q}.
  • \mathbb{Q}^n é contável porque \mathbb{Q} é contável e produto finito de conjuntos contáveis é contável.
  • Mas \mathbb{R} é não contável. Contradição. Logo a dimensão não é finita.
  1. Não pode ser contável:
  • Suponha, por absurdo, que exista uma base enumerável B=\{b_1,b_2,b_3,\dots\}.
  • Qualquer elemento de \mathbb{R} seria uma combinação linear finita de elementos de B com coeficientes racionais. Ou seja, \mathbb{R} seria a união, sobre k\in\mathbb{N}, do conjunto das combinações lineares com exatamente k termos.
  • Para cada k fixo, o conjunto de combinações com k termos é contável: escolhe-se um k-tuplo de índices (há contadamente muitos) e um k-tuplo de coeficientes racionais (contável), produto de contáveis é contável.
  • A união contável de conjuntos contáveis é contável. Logo \mathbb{R} seria contável. Contradição.
  • Portanto a base não pode ser enumerável; ou seja, a dimensão é não contável (incontável).

Passo 5

Comparar com a cardinalidade de \mathbb{R} para obter o valor exato da dimensão.
  • Qualquer base B é um subconjunto de \mathbb{R}, então a cardinalidade de B é no máximo |\mathbb{R}| (a cardinalidade do contínuo). Portanto \dim_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}\le |\mathbb{R}|.
  • Do outro lado, mostramos que a dimensão não é contável. Mas podemos aperfeiçoar: existe uma família de |\mathbb{R}| vetores linearmente independentes sobre \mathbb{Q} (por exemplo, pode-se separar por classes que garantem independência; formalmente o argumento usa escolhas e Zorn, mas o ponto prático é que não existe base de cardinalidade estritamente menor que |\mathbb{R}| que gere \mathbb{R}). Assim, a dimensão não é menor que |\mathbb{R}|. Mais direto e simples: toda base tem cardinalidade ≥ \aleph_0 (já vimos) e ≤ |\mathbb{R}|; combinando com a teoria geral de dimensões para espaços vetoriais sobre subcampos do mesmo corpo, conclui-se que existe uma base de cardinalidade exatamente |\mathbb{R}|.
  • Portanto \dim_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}=|\mathbb{R}|.
Nota sobre notação: a cardinalidade de \mathbb{R} costuma ser chamada de contínuo e denotada por \mathfrak{c} ou por 2^{\aleph_0}, isto é, |\mathbb{R}|=\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}.

Passo 6

Resumo intuitivo e comentário final (para você se animar):
  • Sim, é possível: basta usar a multiplicação por escalares restrita a \mathbb{Q}.
  • A base (Hamel) de \mathbb{R} sobre \mathbb{Q} existe (por Zorn/Axioma da Escolha), é necessariamente não enumerável e, de fato, tem exatamente a cardinalidade do contínuo. Essas bases são bastante “selvagens” — não existem descrições explícitas e elementos da base não são números simples que conhecemos. Por isso, no cálculo e na análise é mais comum trabalhar com \mathbb{R} como espaço vetorial sobre \mathbb{R} (ou usar bases ortonormais em espaços com produto interno), mas para álgebra linear pura essa dimensão “gigante” é o que aparece.

Resposta

Sim. \dim_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}=|\mathbb{R}|=\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}

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