Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por
T(x, y, z)=(x, 2 y, 3 z)
Determine os autovalores e autovetores de T e explique, com suas palavras, o significado geométrico de um autovetor.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x,2y,3z).
O que é pedido:
Determinar os autovalores de T.
Determinar os autovetores de T.
Explicar, com palavras (de forma didática), o significado geométrico de um autovetor.
Informações relevantes que temos do enunciado:
A regra de T é explícita coordenada a coordenada: a primeira coordenada é multiplicada por 1, a segunda por 2 e a terceira por 3.
Não há outras restrições; assumir o espaço padrão \mathbb{R}^3 com a base canônica.
Passo 2
Lembrete (definição e estratégia): um vetor v\in\mathbb{R}^3, v\neq 0, é autovetor de T associado ao autovalor \lambda\in\mathbb{R} se, e somente se,
T(v)=\lambda v.
Isto significa que a ação de T sobre v apenas alonga ou encolhe v (e possivelmente muda o sinal), mas não muda sua direção. Para achar autovalores e autovetores, vou substituir v=(x,y,z) e escrever a equação T(x,y,z)=\lambda(x,y,z) e resolver o sistema resultante.
Explicando esse sistema: para que T(x,y,z)=\lambda(x,y,z) valha, cada uma das três equações acima deve ser satisfeita simultaneamente. Cada equação tem a forma (a-\lambda)\cdot \text{coordenada}=0; isso implica que, para cada coordenada, ou o fator (a-\lambda) é zero (o que permite coordenada livre) ou a coordenada deve ser zero.
Passo 4
Análise por casos para encontrar possíveis \lambda.
Caso geral: se \lambda não for igual a 1,2 ou 3, então os três fatores (1-\lambda),(2-\lambda),(3-\lambda) são todos diferentes de zero, forçando x=0,y=0,z=0. Mas o vetor zero não conta como autovetor. Portanto, não existem autovetores não nulos para valores de \lambda distintos de 1,2,3. Logo os únicos candidatos a autovalores são \lambda=1, \lambda=2 e \lambda=3.
Agora tratar cada \lambda separadamente.
Passo 5
Resolver para \lambda=1:
Substituindo \lambda=1 nas equações:
Para matrizes diagonais os autovalores são exatamente as entradas da diagonal e os autovetores canônicos correspondentes são os vetores da base canônica (cada autovetor tem apenas a coordenada correspondente não nula). Isso confirma os resultados obtidos passo a passo.]
Passo 9
Significado geométrico de um autovetor (explicação didática e intuitiva):
Um autovetor é uma direção em que a transformação age apenas por escalamento (multiplicando o comprimento por um número \lambda) e não muda a direção do vetor. Em outras palavras, ao aplicar T num autovetor v obtemos um vetor colinear com v: T(v)=\lambda v.
No nosso exemplo, as três direções principais (eixos x, y e z) são especiais: vetores ao longo do eixo x não mudam de comprimento (\lambda=1), vetores ao longo do eixo y são esticados por 2 (\lambda=2), e vetores ao longo do eixo z são esticados por 3 (\lambda=3).
Visualmente: imagine o espaço 3D. Esta transformação puxa os pontos na direção do eixo y para o dobro da distância ao longo de y, e na direção z para o triplo; na direção x deixa como está. Qualquer vetor que não esteja exatamente em uma dessas direções muda de direção quando transformado (porque suas componentes individuais são escaladas de forma diferente), portanto não é autovetor.
Exemplo rápido para fixar: T(1,0,0)=(1,0,0)=1\cdot(1,0,0) — autovetor com \lambda=1. Já T(0,1,0)=(0,2,0)=2\cdot(0,1,0) — autovetor com \lambda=2. Mas T(1,1,0)=(1,2,0) não é múltiplo de (1,1,0), então (1,1,0) não é autovetor.
Passo 10
Observações finais e incentivo: cada autovalor encontrado tem espaço próprio unidimensional (cada um gerado por um vetor da base canônica). Esse é um caso bem simples e intuitivo — diagonalização ficou evidente. Se ficar ansioso na prova, lembre: escreva T(x,y,z)=\lambda(x,y,z), compare coordenadas e resolva as três equações; geralmente isso já resolve problemas desse tipo de forma direta. Vai dar certo — respira e aplica o processo passo a passo que usamos aqui.
Resposta
Autovalores: \;1,\;2,\;3
Autovetores: \;\lambda=1: todos os múltiplos de (1,0,0); \;\lambda=2: todos os múltiplos de (0,1,0); \;\lambda=3: todos os múltiplos de (0,0,1).