Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por: \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}, \mathrm{x}+4 \mathrm{y}). Encontre a matriz de T nas bases A e B, onde: A=\left\{e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1)\right\} e B=\left\{F_{1}=(1,3), F_{2}=(2,5)\right\} do \mathbb{R}^{2} respectivamente:

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
\mathrm{T}\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}
por
\mathrm{T}(x,y) = (2x - 3y,\;x + 4y),
pede a matriz de \mathrm{T} com relação à base do domínio
A=\{e_{1}=(1,0),\,e_{2}=(0,1)\}
e à base do contradomínio
B=\{F_{1}=(1,3),\,F_{2}=(2,5)\}.
Vamos primeiro aplicar \mathrm{T} aos vetores de A e depois expressar o resultado em coordenadas na base B.

Passo 2

Calcular \mathrm{T}(e_{1})\) e expressar em \(B\). Como \(e_{1}=(1,0)\), temos \[\mathrm{T}(1,0) = (2\cdot1 - 3\cdot0,\;1 + 4\cdot0) = (2,1).
Procuramos escalares \alpha,\beta tais que
\alpha\,F_{1} + \beta\,F_{2} = (2,1),
isto é,
\alpha\,(1,3) \;+\;\beta\,(2,5) \;=\;(2,1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 2,\\\\ 3\alpha + 5\beta = 1. \end{cases}
Resolvendo, de \alpha + 2\beta = 2\] segue \(\alpha = 2 - 2\beta. Substituindo em 3\alpha + 5\beta = 1:
3(2 - 2\beta) + 5\beta = 1 \quad\Longrightarrow\quad 6 - 6\beta + 5\beta = 1 \quad\Longrightarrow\quad -\beta = -5 \quad\Longrightarrow\quad \beta = 5,
logo \alpha = 2 - 2\cdot5 = -8.
Portanto, as coordenadas de \mathrm{T}(e_{1}) em B são (-8,\,5).

Passo 3

Calcular \mathrm{T}(e_{2})\) e expressar em \(B\). Como \(e_{2}=(0,1)\), \[\mathrm{T}(0,1) = (2\cdot0 - 3\cdot1,\;0 + 4\cdot1) = (-3,4).
Procuramos \alpha,\beta tais que
\alpha\,(1,3) + \beta\,(2,5) = (-3,4),
ou seja
\begin{cases} \alpha + 2\beta = -3,\\\\ 3\alpha + 5\beta = 4. \end{cases}
De \alpha = -3 - 2\beta\] e substituindo na segunda equação: \[3(-3 - 2\beta) + 5\beta = 4 \quad\Longrightarrow\quad -9 - 6\beta + 5\beta = 4 \quad\Longrightarrow\quad -\beta = 13 \quad\Longrightarrow\quad \beta = -13,\] logo \(\alpha = -3 - 2(-13) = -3 + 26 = 23.
As coordenadas de \mathrm{T}(e_{2}) em B são (23,\,-13).

Passo 4

Montar a matriz de \mathrm{T} da base A para a base B.
As colunas dessa matriz são as coordenadas de \mathrm{T}(e_{1}) e \mathrm{T}(e_{2}) em B, respectivamente. Assim,
[T]_{B\leftarrow A} = \begin{pmatrix} -8 & 23\\\\ 5 & -13 \end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{B\leftarrow A} = \begin{pmatrix} -8 & 23\\\\ 5 & -13 \end{pmatrix}.

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