Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por: \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}, \mathrm{x}+4 \mathrm{y}). Encontre a matriz de T nas bases A e B, onde: A=\left\{e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1)\right\} e B=\left\{F_{1}=(1,3), F_{2}=(2,5)\right\} do \mathbb{R}^{2} respectivamente:
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear \mathrm{T}\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}
por
\mathrm{T}(x,y) = (2x - 3y,\;x + 4y),
pede a matriz de \mathrm{T} com relação à base do domínio A=\{e_{1}=(1,0),\,e_{2}=(0,1)\}
e à base do contradomínio B=\{F_{1}=(1,3),\,F_{2}=(2,5)\}.
Vamos primeiro aplicar \mathrm{T} aos vetores de A e depois expressar o resultado em coordenadas na base B.
Passo 2
Calcular \mathrm{T}(e_{1})\) e expressar em \(B\).
Como \(e_{1}=(1,0)\), temos
\[\mathrm{T}(1,0) = (2\cdot1 - 3\cdot0,\;1 + 4\cdot0) = (2,1).
De \alpha = -3 - 2\beta\] e substituindo na segunda equação:
\[3(-3 - 2\beta) + 5\beta = 4 \quad\Longrightarrow\quad -9 - 6\beta + 5\beta = 4 \quad\Longrightarrow\quad -\beta = 13 \quad\Longrightarrow\quad \beta = -13,\]
logo \(\alpha = -3 - 2(-13) = -3 + 26 = 23.
As coordenadas de \mathrm{T}(e_{2}) em B são (23,\,-13).
Passo 4
Montar a matriz de \mathrm{T} da base A para a base B.
As colunas dessa matriz são as coordenadas de \mathrm{T}(e_{1}) e \mathrm{T}(e_{2}) em B, respectivamente. Assim,