Encontre a representação matricial de cada uma das seguintes transformações lineares em relação a base usual do \square^{\mathrm{n}} :
F: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por F(x, y, s, t)=(3 x-4 y+2 s-5 t, 5 x+7 y-s-2 t)

Passo 1

O enunciado pede a matriz de F:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{2} definida por
F(x,y,s,t)=(3x-4y+2s-5t,\;5x+7y-s-2t)
em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^{4} e \mathbb{R}^{2}. Vamos usar o fato de que a matriz de F tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^{4}.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^{4}:
\mathbf e_1=(1,0,0,0)\quad\Rightarrow\quad F(\mathbf e_1)=(3,5),
\mathbf e_2=(0,1,0,0)\quad\Rightarrow\quad F(\mathbf e_2)=(-4,7),
\mathbf e_3=(0,0,1,0)\quad\Rightarrow\quad F(\mathbf e_3)=(2,-1),
\mathbf e_4=(0,0,0,1)\quad\Rightarrow\quad F(\mathbf e_4)=(-5,-2).

Passo 3

A matriz de F em relação às bases canônicas é a matriz 2\times4 cujas colunas são F(\mathbf e_1), F(\mathbf e_2), F(\mathbf e_3) e F(\mathbf e_4).

Passo 4

Logo, a representação matricial de F é
A = \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 & -5\\\\ 5 & 7 & -1 & -2 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 & -5\\\\ 5 & 7 & -1 & -2 \end{pmatrix}

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