Encontre a representação matricial de cada uma das seguintes transformações lineares em relação a base usual do \square^{\mathrm{n}} :
F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} definida por F(x, y, z)=(2 x+3 y-8 z, \mathbf{x}+y+\mathbf{z}, \mathbf{4 x - 5 z}, 6 \mathbf{y})

Passo 1

O enunciado pede a matriz de uma transformação linear
F\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4
na base usual de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^4. Para isso, vamos usar a propriedade de que cada coluna da matriz é a imagem de um vetor da base canônica de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Calcular F em e_1=(1,0,0):
F(1,0,0) =(2\cdot1+3\cdot0-8\cdot0,\;1+0+0,\;4\cdot1-5\cdot0,\;6\cdot0) =(2,1,4,0).
Essa será a primeira coluna da matriz.

Passo 3

Calcular F em e_2=(0,1,0):
F(0,1,0) =(2\cdot0+3\cdot1-8\cdot0,\;0+1+0,\;4\cdot0-5\cdot0,\;6\cdot1) =(3,1,0,6).
Essa será a segunda coluna da matriz.

Passo 4

Calcular F em e_3=(0,0,1):
F(0,0,1) =(2\cdot0+3\cdot0-8\cdot1,\;0+0+1,\;4\cdot0-5\cdot1,\;6\cdot0) =(-8,1,-5,0).
Essa será a terceira coluna da matriz.

Passo 5

Montar a matriz A de F usando as colunas encontradas:
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -8\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 4 & 0 & -5\\\\ 0 & 6 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 3 & -8\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 4 & 0 & -5\\\\ 0 & 6 & 0 \end{pmatrix}

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