Seja
Obtenha
exista e calcule o seu valor.
Passo 1
O enunciado dá uma função definida por partes
O que o exercício pede:
- Determinar o valor de exista.
- Calcular o valor desse limite.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- Para
a função é dada por . - Em
a função vale (isso é o valor da função no ponto, não necessariamente o limite). - Para
a função é dada por .]
Passo 2
Entender o que significa
existir: a existência do limite bilateral em
exige que os limites laterais existam e sejam iguais:
Aqui
vem da expressão válida para
e
vem da expressão válida para
.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda
. A parte usada é a polinomial
. Polinômios são funções contínuas em todo
, ou seja, o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto; assim podemos substituir
:
Passo 4
Calcular o limite pela direita
. A parte usada é o polinômio
. Pelo mesmo argumento de continuidade:
Passo 5
Impor a condição de existência do limite bilateral: igualar os limites laterais obtidos.
Resolver essa equação para
:
Passo 6
Com
calculemos o valor do limite (verificação): substituindo no limite pela direita temos
que coincide com o limite pela esquerda
. Logo o limite bilateral existe e vale
.
Observação didática e amigável: o valor da função em
dado pelo enunciado é
, diferente do limite
, então a função não é contínua em
mesmo quando
. Isso é útil lembrar para provas: existência do limite e igualdade com o valor da função são duas coisas distintas.