Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) onde \[f(x)= \begin{cases}5 x^{2}+2, & \text { se } x<1 \\\\ 3, & \text { se } x=1 \\\ x^{2}-a x+4, & \text { se } x>1\end{cases}
Obtenha a \in \mathbb{R}\] tal que \(\lim _{x \rightarrow 1} f(x) exista e calcule o seu valor.

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\): \[f(x)= \begin{cases}5 x^{2}+2, & \text{se } x<1,\\[4pt] 3, & \text{se } x=1,\\[4pt] x^{2}-a x+4, & \text{se } x>1.\end{cases}
O que o exercício pede:
  • Determinar o valor de a\in\mathbb{R}\] tal que \(\lim_{x\to 1} f(x) exista.
  • Calcular o valor desse limite.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Para x<1 a função é dada por 5x^{2}+2.
  • Em x=1 a função vale 3 (isso é o valor da função no ponto, não necessariamente o limite).
  • Para x>1 a função é dada por x^{2}-a x+4.]

Passo 2

Entender o que significa \lim_{x\to 1} f(x) existir: a existência do limite bilateral em x=1 exige que os limites laterais existam e sejam iguais:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^+} f(x).
Aqui \lim_{x\to 1^-} f(x) vem da expressão válida para x<1 e \lim_{x\to 1^+} f(x) vem da expressão válida para x>1.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to 1^-} f(x). A parte usada é a polinomial 5x^{2}+2. Polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}, ou seja, o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto; assim podemos substituir x=1:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} (5x^{2}+2)=5\cdot 1^{2}+2=5+2=7.

Passo 4

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to 1^+} f(x). A parte usada é o polinômio x^{2}-a x+4. Pelo mesmo argumento de continuidade:
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} (x^{2}-a x+4)=1^{2}-a\cdot 1+4=1-a+4=5-a.

Passo 5

Impor a condição de existência do limite bilateral: igualar os limites laterais obtidos.
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^+} f(x)
7 = 5 - a.
Resolver essa equação para a:
7-5 = -a \quad\Rightarrow\quad 2 = -a \quad\Rightarrow\quad a = -2.

Passo 6

Com a=-2 calculemos o valor do limite (verificação): substituindo no limite pela direita temos
\lim_{x\to 1^+} f(x)=5-a=5-(-2)=7,
que coincide com o limite pela esquerda 7. Logo o limite bilateral existe e vale 7.
Observação didática e amigável: o valor da função em x=1 dado pelo enunciado é f(1)=3, diferente do limite 7, então a função não é contínua em x=1 mesmo quando a=-2. Isso é útil lembrar para provas: existência do limite e igualdade com o valor da função são duas coisas distintas.

Resposta

a=-2
\lim_{x\to 1} f(x)=7

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