Comentário didático rápido: sempre que uma função racional tem fator comum (x-5) no numerador e denominador, a singularidade em x=5 é removível — o limite existe e é o valor da expressão simplificada x+3 avaliada em 5.
Passo 3
Agora o valor de f em x=5 é dado explicitamente pela definição por partes:
f(5)=0.
Isso é um dado do problema — não depende de a.
Passo 4
Calculo a limite pela direita \displaystyle\lim_{x\to5^+}f(x). Para x>5 temos o polinômio -2x^{2}+ax+7, que é contínuo em todo lugar, então a limite quando x\to5^+ é simplesmente o valor do polinômio em 5:
Do Passo 2 e Passo 4 já temos as duas limites laterais: \displaystyle\lim_{x\to5^-}f(x)=8 e \displaystyle\lim_{x\to5^+}f(x)=5a-43. E do Passo 3 f(5)=0.
Para que f fosse contínua em 5 seria necessário em particular que 8=f(5)=0, o que é falso. Portanto não existe nenhum a\in\mathbb{R} capaz de tornar f contínua em x=5 porque o valor definido em 5 (que é 0) é incompatível com a limite pela esquerda (que é 8) — alterar a só afeta a limite pela direita, não o valor f(5).
Observação útil: se por um exercício se permitisse redefinir o valor de f(5), então poderíamos escolher a para igualar as duas limites laterais. Igualando 8 e 5a-43 obtemos
Com a=\dfrac{51}{5} as duas limites laterais seriam 8, e então bastaria definir f(5)=8 para obter continuidade. Mas note: no enunciado f(5) já está fixo em 0, então isso é só uma observação extra.
Passo 6
Agora sobre diferenciabilidade em x=5. Lembrete rápido (definição prática): para que f seja diferenciável em 5 é necessário (entre outras coisas) que f seja contínua em 5. Se já não for contínua, não pode ser diferenciável. Como concluímos no Passo 5 que não existe a que torne f contínua em 5, concluímos imediatamente que não existe a que torne f diferenciável em x=5.
Ainda assim, por completude, vou calcular as derivadas laterais formais (derivada pela esquerda e pela direita) para ver que condição adicional seria necessária se a continuidade fosse satisfeita.
Derivada pela esquerda: para x<5 a função simplificada é x+3 (veja Passo 2), cuja derivada é 1. Então a derivada lateral à esquerda em 5 é
f'_-(5)=1.
Derivada pela direita: para x>5 a função é -2x^{2}+ax+7. A derivada é -4x+a. Avaliando em x=5:
f'_+(5) = -4\cdot 5 + a = -20 + a.
Se hipoteticamente a função fosse contínua em 5 (por exemplo, se redefiníssemos f(5)=8 e escolhêssemos a=\tfrac{51}{5} como na observação anterior), a condição para diferenciabilidade seria ainda exigir igualdade das derivadas laterais:
1 = -20 + a \quad\Rightarrow\quad a = 21.
Note que a=21 é diferente de a=\tfrac{51}{5}. Ou seja, mesmo permitindo redefinir f(5), não existe um único a que torne simultaneamente as duas condições (continuidade por redefinição e igualdade de derivadas) satisfeitas. Portanto não há possibilidade de ter diferenciabilidade em 5 por qualquer escolha de a, mesmo permitindo mudar f(5).
Passo 7
Resumo e interpretação final em linguagem direta e de prova:
A limite pela esquerda é fixa em 8 e o valor f(5) é 0; isso já impede continuidade em 5 para qualquer a.
A limite pela direita depende de a e vale 5a-43; escolher a=\tfrac{51}{5} faz as duas limites laterais coincidir em 8, mas ainda assim f(5)=0 impede continuidade.
Como diferenciabilidade implica continuidade, não existe a que torne f diferenciável em 5.
Observações extras: se se permitisse redefinir f(5), então continuidade exigiria a=\tfrac{51}{5} e diferenciabilidade exigiria a=21, condições incompatíveis.
Resposta
\displaystyle\lim_{x\to5^-}f(x)=8 \displaystyle\lim_{x\to5^+}f(x)=5a-43 f(5)=0
Não existe a\in\mathbb{R} que torne f contínua em x=5.
Não existe a\in\mathbb{R} que torne f diferenciável em x=5.