Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação definida por T \mathbf{v}=A \mathbf{v}, onde A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\\\ -1 & 2 & 1\end{array}\right). Encontre a imagem de \mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}2 \\\\ -3 \\\\ 0\end{array}\right) e \mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}-1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por multiplicação por uma matriz A. As informações relevantes são:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\\\ -1 & 2 & 1\end{pmatrix}
\mathbf{u}=\begin{pmatrix}2 \\\\ -3 \\\\ 0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}-1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{pmatrix}
O que o problema pede: calcular T\mathbf{u}=A\mathbf{u} e T\mathbf{v}=A\mathbf{v}.

Passo 2

Entendendo o que significa multiplicar uma matriz A por um vetor: se A é 2\times3 e \mathbf{x} é um vetor em \mathbb{R}^3 (ou seja, um 3\times1), o produto A\mathbf{x} é um vetor em \mathbb{R}^2 (um 2\times1). Cada componente do resultado é o produto escalar (dot product) da linha correspondente de A com o vetor \mathbf{x}.
Formalmente, se A=(a_{ij}) e \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)^\mathsf{T}, então
(A\mathbf{x})_i=\sum_{j=1}^{3} a_{ij} x_j,
para i=1,2. Isso quer dizer:
  • a primeira componente de A\mathbf{x} é 1\cdot x_1 + 2\cdot x_2 + 2\cdot x_3 (porque a primeira linha de A é (1,2,2));
  • a segunda componente de A\mathbf{x} é (-1)\cdot x_1 + 2\cdot x_2 + 1\cdot x_3 (porque a segunda linha de A é (-1,2,1)).

Passo 3

Agora calculamos T\mathbf{u}=A\mathbf{u}. Usamos \mathbf{u}=\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ 0\end{pmatrix}. Aplicando a regra do produto linha por coluna:
Primeira componente:
1\cdot 2 + 2\cdot(-3) + 2\cdot 0 = 2 - 6 + 0 = -4.
Segunda componente:
(-1)\cdot 2 + 2\cdot(-3) + 1\cdot 0 = -2 -6 + 0 = -8.
Portanto
T\mathbf{u}=A\mathbf{u}=\begin{pmatrix}-4 \\\\ -8\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora calculamos T\mathbf{v}=A\mathbf{v}. Usamos \mathbf{v}=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}. Fazemos o produto linha por coluna de novo:
Primeira componente:
1\cdot(-1) + 2\cdot 1 + 2\cdot 1 = -1 + 2 + 2 = 3.
Segunda componente:
(-1)\cdot(-1) + 2\cdot 1 + 1\cdot 1 = 1 + 2 + 1 = 4.
Portanto
T\mathbf{v}=A\mathbf{v}=\begin{pmatrix}3 \\\\ 4\end{pmatrix}.

Resposta

T\mathbf{u}=\begin{pmatrix}-4 \\\\ -8\end{pmatrix}
T\mathbf{v}=\begin{pmatrix}3 \\\\ 4\end{pmatrix}

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