As matrizes que precisamos verificar se pertencem à imagem \operatorname{img}(T) são:
(i) \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix},
(ii) \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix},
(iii) \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Vou trabalhar com um polinômio geral de grau ≤ 4:
p(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e,
onde a,b,c,d,e\in\mathbb{R}. Lista de informações que usarei (tudo obtido a partir de p):
p(0)=e,
p(1)=a+b+c+d+e,
p'(x)=4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d,
p'(0)=d,
p'(1)=4a+3b+2c+d.
Passo 2
Agora escrevo as equações que aparecem quando igualamos T(p) à uma matriz arbitrária \begin{pmatrix}m_{11} & m_{12} \\\ m_{21} & m_{22}\end{pmatrix}. Igualando entrada por entrada obtenho o sistema
e = m_{11},
a+b+c+d+e = m_{12},
d = m_{21},
4a+3b+2c+d = m_{22}.
Das duas primeiras e das duas últimas equações isolo a,b,c. Usando e=m_{11} e d=m_{21} defino
S_{1}=m_{12}-d-e = m_{12}-m_{21}-m_{11},
S_{2}=m_{22}-d = m_{22}-m_{21},
e obtenho o sistema para (a,b,c):
a+b+c = S_{1},
4a+3b+2c = S_{2}.
Esse é um sistema linear com 2 equações e 3 incógnitas. As linhas de coeficientes são (1,1,1) e (4,3,2). Essas duas linhas são linearmente independentes (não são múltiplos escalar uma da outra), logo o sistema tem sempre solução para qualquer S_{1},S_{2} (porque o posto da matriz de coeficientes é 2 e o número de incógnitas é 3). Em palavras simples: posso escolher uma incógnita livre (por exemplo c) e resolver a,b a partir das duas equações; não há incompatibilidade. Portanto, para qualquer matriz \begin{pmatrix}m_{11} & m_{12} \\\ m_{21} & m_{22}\end{pmatrix} existe um polinômio p\in P_{4}(\mathbb{R}) tal que T(p) é essa matriz. Isso mostra que T é sobrejetora (surjetiva) e a imagem é todo M_{2}(\mathbb{R}). Mas para ficar bem didático, vou construir explicitamente um polinômio para cada matriz dada.
Passo 3
(i) Para \displaystyle\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} temos m_{11}=0, m_{12}=1, m_{21}=0, m_{22}=1.
Então e=0 e d=0. Calculo
Logo T(p)=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}. Portanto (ii) pertence à imagem.
Passo 5
(iii) Para \displaystyle\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix} a escolha óbvia é o polinômio nulo
p(x)=0,
isto é, a=b=c=d=e=0. Então p(0)=0, p(1)=0, p'(0)=0, p'(1)=0. Logo T(p) é a matriz nula. Portanto (iii) pertence à imagem.
Passo 6
Resumo conceitual rápido: escrevemos as equações que ligam os coeficientes de p às entradas da matriz alvo; fixando e=p(0) e d=p'(0) igual às entradas (1,1) e (2,1) da matriz, sobrou um sistema de duas equações lineares em três incógnitas (a,b,c). Como as duas equações são linearmente independentes, sempre podemos resolver para (a,b,c). Portanto qualquer matriz 2\times2 é atingida por algum polinômio de grau ≤ 4, e todos os três exemplos dados pertencem à imagem.
Resposta
(i) pertence à imagem.
(ii) pertence à imagem.
(iii) pertence à imagem.