Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,1)=(-3,1,-3) e T(3,2)=(-1,-1,-2). Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -13
(B) -12
(C) -11
(D) -10
(E) -9
(F) -8
(G) -7
(H) -6

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 e fornece dois valores:
T(1,1)=(-3,1,-3)
T(3,2)=(-1,-1,-2)
A pergunta específica é: qual é o valor da entrada a_{12} da matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}?
Listei as informações relevantes: os dois vetores do domínio cujas imagens são conhecidas e os vetores imagem em \mathbb{R}^3. Não comecei a resolver ainda — só organizei o que o problema nos deu e o que ele pede.

Passo 2

Conceito importante (explicadinho): se T é linear e e_1=(1,0), e_2=(0,1) são as bases canônicas de \mathbb{R}^2, então para qualquer (x,y) temos
T(x,y)=x\,T(e_1)+y\,T(e_2).
Isto significa que a matriz A associada a T tem como colunas exatamente T(e_1) e T(e_2):
A=\begin{pmatrix} \;T(e_1)\; & \;T(e_2)\; \end{pmatrix}.
Portanto, para encontrar A basta determinar T(e_1) e T(e_2). A entrada a_{12} é o elemento da primeira linha e segunda coluna de A, ou seja, a primeira componente de T(e_2).

Passo 3

Expressamos os vetores dados em termos de e_1 e e_2:
(1,1)=e_1+e_2,
(3,2)=3e_1+2e_2.
Aplicando T (e usando linearidade), obtemos equações vetoriais para v_1:=T(e_1) e v_2:=T(e_2):
v_1+v_2 = (-3,1,-3),
3v_1+2v_2 = (-1,-1,-2).
Agora temos um sistema linear em vetores de \mathbb{R}^3. Vamos resolver coordenada a coordenada.

Passo 4

Chame as componentes de v_1 e v_2 assim:
v_1=(u_1,u_2,u_3),\qquad v_2=(w_1,w_2,w_3).
As equações vetoriais geram, para cada coordenada, um sistema de duas equações em duas incógnitas. Vou resolver primeiro a coordenada 1 (primeira linha).
Da coordenada 1:
u_1 + w_1 = -3,
3u_1 + 2w_1 = -1.

Passo 5

Resolver a coordenada 1 passo a passo. Da primeira equação temos
u_1 = -3 - w_1.
Substituindo na segunda:
3(-3 - w_1) + 2w_1 = -1.
Agora desenvolvo os parênteses:
-9 - 3w_1 + 2w_1 = -1.
Combine os termos em w_1:
-9 - w_1 = -1.
Isolando w_1:
-w_1 = 8 \quad\Rightarrow\quad w_1 = -8.
Agora u_1 = -3 - w_1 = -3 - (-8) = 5.
Então, pelas primeiras coordenadas,
\text{primeira coordenada de }v_2=w_1=-8.
Lembre-se: a_{12} é exatamente essa primeira coordenada de v_2.

Passo 6

Por completude (e para checar consistência), resolvo as outras coordenadas igualmente.
Coordenada 2:
u_2 + w_2 = 1,
3u_2 + 2w_2 = -1.
Da primeira, u_2 = 1 - w_2. Substituindo:
3(1 - w_2) + 2w_2 = -1
3 - 3w_2 + 2w_2 = -1
3 - w_2 = -1
-w_2 = -4 \quad\Rightarrow\quad w_2 = 4.
Então u_2 = 1 - 4 = -3.
Coordenada 3:
u_3 + w_3 = -3,
3u_3 + 2w_3 = -2.
Da primeira, u_3 = -3 - w_3. Substituindo:
3(-3 - w_3) + 2w_3 = -2
-9 -3w_3 + 2w_3 = -2
-9 - w_3 = -2
-w_3 = 7 \quad\Rightarrow\quad w_3 = -7.
Então u_3 = -3 - (-7) = 4.

Passo 7

Agora temos as colunas (ou seja, T(e_1) e T(e_2)):
v_1=T(e_1)=(5,-3,4),
v_2=T(e_2)=(-8,4,-7).
Assim a matriz A é
A=\begin{pmatrix} 5 & -8\\[4pt] -3 & 4\\[4pt] 4 & -7 \end{pmatrix}.
Relembre: a_{12} é a entrada da primeira linha e segunda coluna, isto é a primeira componente de v_2, que encontramos como -8.]

Resposta

(F) -8

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