Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+y+z,-2 x+y, 2 x-y-z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{23} vale:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7

Passo 1

O enunciado pede: dado o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z)=(-x+y+z,\;-2x+y,\;2x-y-z),
determine a matriz B que representa a inversa T^{-1} (na base canônica) e, em particular, encontre o valor da entrada b_{23} (entrada da 2ª linha e 3ª coluna) da matriz B.
Informações dadas que vamos usar: a expressão de T(x,y,z) acima e que a base considerada é a canônica (logo as colunas da matriz de T serão T(e_1),T(e_2),T(e_3)).

Passo 2

Como primeiro passo prático, vamos montar a matriz A de T na base canônica. Lembrando: a coluna j de A é T(e_j), onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). Calculamos:
T(e_1)=T(1,0,0)=(-1,-2,2),
T(e_2)=T(0,1,0)=(1,1,-1),
T(e_3)=T(0,0,1)=(1,0,-1).
Portanto a matriz A é
A=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\[4pt] -2 & 1 & 0 \\[4pt] 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para saber se A é invertível (e poder calcular A^{-1}), calculamos o determinante de A. Usamos expansão pela primeira linha:
\det(A)=(-1)\det\!\begin{pmatrix}1 & 0 \\[2pt] -1 & -1\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-2 & 0 \\[2pt] 2 & -1\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[2pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
Agora calculamos cada determinante 2\times2:
\det\!\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ -1 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-0\cdot(-1)=-1,
\det\!\begin{pmatrix}-2 & 0 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix}=(-2)\cdot(-1)-0\cdot2=2,
\det\!\begin{pmatrix}-2 & 1 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix}=(-2)\cdot(-1)-1\cdot2=2-2=0.
Substituindo:
\det(A)=(-1)\cdot(-1)-1\cdot2+1\cdot0=1-2+0=-1.
Como \det(A)=-1\neq 0, A é invertível e A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)= -\operatorname{adj}(A).]

Passo 4

Vou explicar o método que vamos usar para achar A^{-1}: usaremos a matriz dos cofatores (matriz de cofatores C), transposta para obter a adjunta \operatorname{adj}(A)=C^{T}, e depois multiplicamos por 1/\det(A).
Conceitos rápidos e úteis:
  • Minorar: o menor de ordem 2 relativo à entrada a_{ij} é o determinante da matriz obtida ao riscar a linha i e a coluna j.
  • Cofator C_{ij}=(-1)^{i+j} vezes esse menor.
  • \operatorname{adj}(A)=C^{T} e A^{-1}=(1/\det A)\operatorname{adj}(A).

Passo 5

Calculemos os cofatores um a um (vou mostrar o menor e o sinal):
  • Para C_{11}: menor \det\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ -1 & -1\end{pmatrix}=-1. O sinal é (-)^{1+1}=+, logo C_{11}=-1.
  • Para C_{12}: menor \det\begin{pmatrix}-2 & 0 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix}=2. O sinal é (-)^{1+2}=-, logo C_{12}=-2.
  • Para C_{13}: menor \det\begin{pmatrix}-2 & 1 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix}=0. O sinal é +, logo C_{13}=0.
  • Para C_{21}: menor \det\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-1\cdot(-1)=0. O sinal é (-)^{2+1}=-, logo C_{21}=0.
  • Para C_{22}: menor \det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix}=(-1)(-1)-1\cdot2=1-2=-1. O sinal é +, logo C_{22}=-1.
  • Para C_{23}: menor \det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix}=-1 (mesmo cálculo), o sinal é (-)^{2+3}=-, logo C_{23}= -(-1)=1.
  • Para C_{31}: menor \det\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-1\cdot1=-1. O sinal é + (pois 3+1 é par), logo C_{31}=-1.
  • Para C_{32}: menor \det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -2 & 0\end{pmatrix}=(-1)\cdot0-1\cdot(-2)=0+2=2. O sinal é (-)^{3+2}=-, logo C_{32}=-2.
  • Para C_{33}: menor \det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-1\cdot(-2)=-1+2=1. O sinal é +, logo C_{33}=1.
Assim a matriz dos cofatores C é
C=\begin{pmatrix}-1 & -2 & 0 \\[4pt] 0 & -1 & 1 \\[4pt] -1 & -2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

A adjunta é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & -1 \\[4pt] -2 & -1 & -2 \\[4pt] 0 & 1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Como \det(A)=-1, temos
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=-1\cdot\operatorname{adj}(A).
Multiplicando cada entrada por -1:
A^{-1}=B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & 2 \\[4pt] 0 & -1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora identificamos a entrada pedida: b_{23} é a entrada da 2ª linha e 3ª coluna de B. Observando B,
b_{23}=2.
Isso corresponde à alternativa (C). Força aí — é só decorar o procedimento (montar A, checar \det, usar cofatores/adjunta) que dá para fazer rápido na prova.

Resposta

(C) 2

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