Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x+y+z,-2 x+y, 2 x-y-z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{23} vale:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7
Passo 1
O enunciado pede: dado o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z)=(-x+y+z,\;-2x+y,\;2x-y-z),
determine a matriz B que representa a inversa T^{-1} (na base canônica) e, em particular, encontre o valor da entrada b_{23} (entrada da 2ª linha e 3ª coluna) da matriz B.
Informações dadas que vamos usar: a expressão de T(x,y,z) acima e que a base considerada é a canônica (logo as colunas da matriz de T serão T(e_1),T(e_2),T(e_3)).
Passo 2
Como primeiro passo prático, vamos montar a matriz A de T na base canônica. Lembrando: a coluna j de A é T(e_j), onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). Calculamos:
Como \det(A)=-1\neq 0, A é invertível e A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)= -\operatorname{adj}(A).]
Passo 4
Vou explicar o método que vamos usar para achar A^{-1}: usaremos a matriz dos cofatores (matriz de cofatores C), transposta para obter a adjunta \operatorname{adj}(A)=C^{T}, e depois multiplicamos por 1/\det(A).
Conceitos rápidos e úteis:
Minorar: o menor de ordem 2 relativo à entrada a_{ij} é o determinante da matriz obtida ao riscar a linha i e a coluna j.
Cofator C_{ij}=(-1)^{i+j} vezes esse menor.
\operatorname{adj}(A)=C^{T} e A^{-1}=(1/\det A)\operatorname{adj}(A).
Passo 5
Calculemos os cofatores um a um (vou mostrar o menor e o sinal):
Para C_{11}: menor \det\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ -1 & -1\end{pmatrix}=-1. O sinal é (-)^{1+1}=+, logo C_{11}=-1.
Para C_{12}: menor \det\begin{pmatrix}-2 & 0 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix}=2. O sinal é (-)^{1+2}=-, logo C_{12}=-2.
Para C_{13}: menor \det\begin{pmatrix}-2 & 1 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix}=0. O sinal é +, logo C_{13}=0.
Para C_{21}: menor \det\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-1\cdot(-1)=0. O sinal é (-)^{2+1}=-, logo C_{21}=0.
Para C_{22}: menor \det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix}=(-1)(-1)-1\cdot2=1-2=-1. O sinal é +, logo C_{22}=-1.
Para C_{23}: menor \det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix}=-1 (mesmo cálculo), o sinal é (-)^{2+3}=-, logo C_{23}= -(-1)=1.
Para C_{31}: menor \det\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-1\cdot1=-1. O sinal é + (pois 3+1 é par), logo C_{31}=-1.
Para C_{32}: menor \det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -2 & 0\end{pmatrix}=(-1)\cdot0-1\cdot(-2)=0+2=2. O sinal é (-)^{3+2}=-, logo C_{32}=-2.
Para C_{33}: menor \det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-1\cdot(-2)=-1+2=1. O sinal é +, logo C_{33}=1.
Agora identificamos a entrada pedida: b_{23} é a entrada da 2ª linha e 3ª coluna de B. Observando B,
b_{23}=2.
Isso corresponde à alternativa (C). Força aí — é só decorar o procedimento (montar A, checar \det, usar cofatores/adjunta) que dá para fazer rápido na prova.