O que se pede explicitamente: determinar a dimensão do subespaço imagem de T (ou seja, \dim(\operatorname{Im} T)).
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): a dimensão da imagem de T é igual ao posto (rank) da matriz que representa T. Isso porque a imagem de T é gerada pelas colunas dessa matriz, e o posto é o número máximo de colunas linearmente independentes. Então basta montar a matriz associada a T e calcular seu posto por eliminação de Gauss.
Breve lembrete sobre termos:
\text{posto (rank)} = \text{número de colunas (ou linhas) linearmente independentes} = \text{número de pivôs na forma escalonada}.
Operações elementares de linha não mudam o posto da matriz; elas apenas facilitam encontrar os pivôs.
Passo 3
Monte a matriz A de T. Cada coluna corresponde aos coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} em cada componente da imagem, ou equivalentemente cada linha mostra os coeficientes para cada componente em função das variáveis. Assim:
Explicação: a primeira linha vem de \;x_{1}+x_{2}-x_{3}+2x_{4}\;, a segunda de \;2x_{1}+x_{2}-4x_{3}+2x_{4}\; e a terceira de \;-x_{1}-3x_{2}-4x_{3}-5x_{4}\;.]
Passo 4
Vamos aplicar eliminação de Gauss passo a passo para encontrar o número de pivôs (colunas independentes).
Observação intuitiva: T vai de um espaço de dimensão 4 para \mathbb{R}^{3}, então a dimensão da imagem não pode exceder 3; aqui atinge 3, ou seja, a imagem é um subespaço de dimensão máxima em \mathbb{R}^{3}.