Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}-x_{3}+2 x_{4}\right., \left.2 x_{1}+x_{2}-4 x_{3}+2 x_{4}, \quad-x_{1}-3 x_{2}-4 x_{3}-5 x_{4}\right). A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\bigl(x_{1}+x_{2}-x_{3}+2x_{4},\;2x_{1}+x_{2}-4x_{3}+2x_{4},\;-x_{1}-3x_{2}-4x_{3}-5x_{4}\bigr)
e pergunta qual é a dimensão da imagem de T. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Componente 1: }x_{1}+x_{2}-x_{3}+2x_{4},\\\ &\text{Componente 2: }2x_{1}+x_{2}-4x_{3}+2x_{4},\\\ &\text{Componente 3: }-x_{1}-3x_{2}-4x_{3}-5x_{4}. \end{aligned}
O que se pede explicitamente: determinar a dimensão do subespaço imagem de T (ou seja, \dim(\operatorname{Im} T)).

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): a dimensão da imagem de T é igual ao posto (rank) da matriz que representa T. Isso porque a imagem de T é gerada pelas colunas dessa matriz, e o posto é o número máximo de colunas linearmente independentes. Então basta montar a matriz associada a T e calcular seu posto por eliminação de Gauss.
Breve lembrete sobre termos:
\text{posto (rank)} = \text{número de colunas (ou linhas) linearmente independentes} = \text{número de pivôs na forma escalonada}.úúô
Operações elementares de linha não mudam o posto da matriz; elas apenas facilitam encontrar os pivôs.

Passo 3

Monte a matriz A de T. Cada coluna corresponde aos coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} em cada componente da imagem, ou equivalentemente cada linha mostra os coeficientes para cada componente em função das variáveis. Assim:
A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -4 & 2\\[4pt] -1 & -3 & -4 & -5 \end{pmatrix}.
Explicação: a primeira linha vem de \;x_{1}+x_{2}-x_{3}+2x_{4}\;, a segunda de \;2x_{1}+x_{2}-4x_{3}+2x_{4}\; e a terceira de \;-x_{1}-3x_{2}-4x_{3}-5x_{4}\;.]

Passo 4

Vamos aplicar eliminação de Gauss passo a passo para encontrar o número de pivôs (colunas independentes).
Matriz inicial:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -4 & 2\\[4pt] -1 & -3 & -4 & -5 \end{pmatrix}
Usamos o elemento \;1\; em posição (1,1) como primeiro pivô. Eliminações:
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} \quad\text{e}\quad R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1}.
Calculemos cada linha nova:
R_{2}: \; (2,1,-4,2)-2(1,1,-1,2)=(0,-1,-2,-2).
R_{3}: \; (-1,-3,-4,-5)+(1,1,-1,2)=(0,-2,-5,-3).
Matriz após essas operações:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -2\\[4pt] 0 & -2 & -5 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora escolha o pivô na segunda linha, coluna 2: o elemento é -1. Para facilitar, multiplicamos a segunda linha por -1:
R_{2}\leftarrow -R_{2} \Longrightarrow R_{2}=(0,1,2,2).
Em seguida eliminamos o -2 da terceira linha na coluna 2:
R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{2}.
Calcule:
R_{3}: \; (0,-2,-5,-3)+2(0,1,2,2)=(0,0,-1,1).
Matriz agora:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Terceiro pivô está em (3,3) com valor -1. Multiplicamos a terceira linha por -1 para ter pivô 1:
R_{3}\leftarrow -R_{3} \Longrightarrow R_{3}=(0,0,1,-1).
Agora eliminamos entradas acima na coluna 3:
R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{3}, \quad R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{3}.
Calcule:
R_{1}: \; (1,1,-1,2)+(0,0,1,-1)=(1,1,0,1).
R_{2}: \; (0,1,2,2)-2(0,0,1,-1)=(0,1,0,4).
Matriz escalonada resultante:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Contagem dos pivôs: há pivô nas colunas 1, 2 e 3. Portanto o posto da matriz A é 3. Consequência imediata: a dimensão da imagem de T é
\dim(\operatorname{Im} T)=\operatorname{rank}(A)=3.
Observação intuitiva: T vai de um espaço de dimensão 4 para \mathbb{R}^{3}, então a dimensão da imagem não pode exceder 3; aqui atinge 3, ou seja, a imagem é um subespaço de dimensão máxima em \mathbb{R}^{3}.

Resposta

(D) 3

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