Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(2,1)=(-3,3,2) e T(1,1)=(-1,2,-2).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e informa dois valores:
T(2,1)=(-3,3,2)
T(1,1)=(-1,2,-2)
Pede para determinar a matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}
e, em particular, qual é a entrada \,a_{12}\, (primeira linha, segunda coluna) dessa matriz. Essas são todas as informações relevantes.

Passo 2

Explicação necessária: para qualquer transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, a matriz A que representa T em relação à base canônica de \mathbb{R}^2 tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica. Chamando
e_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad e_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},
temos
A=\begin{pmatrix}T(e_1) & T(e_2)\end{pmatrix},
ou seja, a primeira coluna de A é T(e_1) e a segunda coluna é T(e_2). Vou usar isso para encontrar A.

Passo 3

Defino incógnitas para as imagens dos vetores da base:
\mathbf{a}=T(e_1)=\begin{pmatrix}a_1\a_2\a_3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=T(e_2)=\begin{pmatrix}b_1\b_2\b_3\end{pmatrix}.
Usando linearidade, para quaisquer x,y vale T(x,y)=x\mathbf{a}+y\mathbf{b}. Então as informações dadas traduzem-se em duas equações vetoriais:
T(2,1)=2\mathbf{a}+\mathbf{b}= \begin{pmatrix}-3\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix},
T(1,1)=\mathbf{a}+\mathbf{b}= \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema vetorial. Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos
(2\mathbf{a}+\mathbf{b})-(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\mathbf{a}= \begin{pmatrix}-3\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix}.
Faço a subtração componente a componente:
\mathbf{a}=\begin{pmatrix}-3-(-1)\\[4pt]3-2\\[4pt]2-(-2)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Com \mathbf{a} encontrado, obtenho \mathbf{b} a partir de \mathbf{a}+\mathbf{b}=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix}:
\mathbf{b}=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix}-\mathbf{a} =\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 4\end{pmatrix}.
Subtraindo componente a componente:
\mathbf{b}=\begin{pmatrix}-1-(-2)\\[4pt]2-1\\[4pt]-2-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-6\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora escrevo a matriz A com as colunas \mathbf{a} e \mathbf{b}:
A=\begin{pmatrix} -2 & 1\\[4pt] 1 & 1\\[4pt] 4 & -6 \end{pmatrix}.
A entrada \,a_{12}\, é a primeira linha, segunda coluna dessa matriz.]

Passo 7

Leitura direta da matriz: a primeira linha, segunda coluna é
a_{12}=1.
Você conseguiu! Ótimo trabalho em acompanhar cada passo — é exatamente esse tipo de procedimento que cai na prova: representar por colunas e resolver um pequeno sistema linear por subtração.

Resposta

(D) 1

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