Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(2,1)=(-3,3,2) e T(1,1)=(-1,2,-2).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e informa dois valores:
T(2,1)=(-3,3,2)
T(1,1)=(-1,2,-2)
Pede para determinar a matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}
e, em particular, qual é a entrada \,a_{12}\, (primeira linha, segunda coluna) dessa matriz. Essas são todas as informações relevantes.
Passo 2
Explicação necessária: para qualquer transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, a matriz A que representa T em relação à base canônica de \mathbb{R}^2 tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica. Chamando
A entrada \,a_{12}\, é a primeira linha, segunda coluna dessa matriz.]
Passo 7
Leitura direta da matriz: a primeira linha, segunda coluna é
a_{12}=1.
Você conseguiu! Ótimo trabalho em acompanhar cada passo — é exatamente esse tipo de procedimento que cai na prova: representar por colunas e resolver um pequeno sistema linear por subtração.