Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x+y-2 z,-2 x-3 y+2 z, x-y-5 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{11} vale:
(A) -20
(B) -19
(C) -18
(D) -17
(E) -16
(F) -15
(G) -14
(H) -13
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (x+y-2z,\;-2x-3y+2z,\;x-y-5z),
e pede que a gente determine a matriz B que representa a inversa de T e, especificamente, o valor da entrada b_{11}.
Informações relevantes que temos: os coeficientes das imagens de x,y,z (isto é, os coeficientes que formam a matriz da transformação T) estão explícitos no enunciado. A tarefa imediata é obter essa matriz, inverter e extrair b_{11}.
Passo 2
Primeiro passo concreto: escrever a matriz A que representa T na base canônica. A convenção usada é que
Explicação do método para achar b_{11} sem calcular toda a inversa por Gauss-Jordan (economiza tempo na prova): para matriz inversível A vale
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a adjunta (a matriz dos cofatores transposta). A entrada (1,1) de A^{-1} é então
b_{11} = \frac{1}{\det(A)}\;C_{11},
onde C_{11} é o cofator correspondente à posição (1,1). O cofator C_{11} é ( -1)^{1+1} vezes o determinante da matriz obtida removendo a linha 1 e coluna 1 de A; como ( -1)^{2}=1, temos C_{11}=\det(M_{11}). Então só precisamos de \det(A) e de \det(M_{11}).
Passo 4
Calcular \det(A) passo a passo. Usamos expansão pela primeira linha (fórmula: \det(A)=a_{11}\det(M_{11})-a_{12}\det(M_{12})+a_{13}\det(M_{13})). Aqui a_{11}=1, a_{12}=1, a_{13}=-2. Os menores 2×2 são: