Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x+y-2 z,-2 x-3 y+2 z, x-y-5 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{11} vale:
(A) -20
(B) -19
(C) -18
(D) -17
(E) -16
(F) -15
(G) -14
(H) -13

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (x+y-2z,\;-2x-3y+2z,\;x-y-5z),
e pede que a gente determine a matriz B que representa a inversa de T e, especificamente, o valor da entrada b_{11}.
Informações relevantes que temos: os coeficientes das imagens de x,y,z (isto é, os coeficientes que formam a matriz da transformação T) estão explícitos no enunciado. A tarefa imediata é obter essa matriz, inverter e extrair b_{11}.

Passo 2

Primeiro passo concreto: escrever a matriz A que representa T na base canônica. A convenção usada é que
T\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},
onde cada linha de A contém os coeficientes correspondentes à imagem de (x,y,z). Portanto,
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2\\[4pt] -2 & -3 & 2\\[4pt] 1 & -1 & -5 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Explicação do método para achar b_{11} sem calcular toda a inversa por Gauss-Jordan (economiza tempo na prova): para matriz inversível A vale
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a adjunta (a matriz dos cofatores transposta). A entrada (1,1) de A^{-1} é então
b_{11} = \frac{1}{\det(A)}\;C_{11},
onde C_{11} é o cofator correspondente à posição (1,1). O cofator C_{11} é ( -1)^{1+1} vezes o determinante da matriz obtida removendo a linha 1 e coluna 1 de A; como ( -1)^{2}=1, temos C_{11}=\det(M_{11}). Então só precisamos de \det(A) e de \det(M_{11}).

Passo 4

Calcular \det(A) passo a passo. Usamos expansão pela primeira linha (fórmula: \det(A)=a_{11}\det(M_{11})-a_{12}\det(M_{12})+a_{13}\det(M_{13})). Aqui a_{11}=1, a_{12}=1, a_{13}=-2. Os menores 2×2 são:
M_{11} = \begin{pmatrix}-3 & 2\\[4pt]-1 & -5\end{pmatrix},\qquad M_{12} = \begin{pmatrix}-2 & 2\\[4pt]1 & -5\end{pmatrix},\qquad M_{13} = \begin{pmatrix}-2 & -3\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Calculemos cada determinante 2×2:
\det(M_{11}) = (-3)(-5) - (2)(-1) = 15 + 2 = 17,
\det(M_{12}) = (-2)(-5) - (2)(1) = 10 - 2 = 8,
\det(M_{13}) = (-2)(-1) - (-3)(1) = 2 + 3 = 5.
Agora aplicando a fórmula de expansão:
\det(A) = 1\cdot 17 - 1\cdot 8 + (-2)\cdot 5 = 17 - 8 - 10 = -1.]

Passo 5

Calcular o cofator C_{11}. Já computamos \det(M_{11})=17 e o sinal é positivo, logo
C_{11} = \det(M_{11}) = 17.

Passo 6

Agora usamos a relação
b_{11} = \frac{1}{\det(A)}\,C_{11}.
Substituindo os valores encontrados \det(A)=-1 e C_{11}=17, obtemos
b_{11} = \frac{17}{-1} = -17.

Resposta

(D) -17

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