Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(7,-4) e \vec{v}=(3,-2). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(1,-1) e [\vec{v}]_{\beta}=(-1,-1), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{c}* \\\\ 3\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 5\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \beta=\{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} é uma base de \mathbb{R}^2.
  • Vetores no sistema canônico: \vec{u}=(7,-4) e \vec{v}=(3,-2).
  • Coordenadas desses vetores na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(1,-1),\qquad [\vec{v}]_{\beta}=(-1,-1).
O que o enunciado pede: identificar \vec{b}_2 entre as alternativas (A) a (H) — ou, equivalentemente, determinar a segunda componente de \vec{b}_2 (que está indicada nas alternativas).

Passo 2

Entendendo o significado de coordenadas em uma base: se [\vec{w}]_{\beta}=(\alpha,\beta), isso significa que, no sistema canônico,
\vec{w}=\alpha\,\vec{b}_1+\beta\,\vec{b}_2.
Aqui cada número da coordenada é o coeficiente na combinação linear das vetores da base.

Passo 3

Aplicando isso a \vec{u} e \vec{v}:
  • Como [\vec{u}]_{\beta}=(1,-1), tem-se \vec{u}=1\cdot\vec{b}_1+(-1)\cdot\vec{b}_2=\vec{b}_1-\vec{b}_2.
  • Como [\vec{v}]_{\beta}=(-1,-1), tem-se \vec{v}=-1\cdot\vec{b}_1+(-1)\cdot\vec{b}_2=-\vec{b}_1-\vec{b}_2.
Essas duas equações relacionam \vec{b}_1 e \vec{b}_2 aos vetores conhecidos \vec{u} e \vec{v}.

Passo 4

Isolando \vec{b}_1 na primeira equação:
\vec{b}_1=\vec{u}+\vec{b}_2.
Substitui-se isso na segunda equação para eliminar \vec{b}_1:
\vec{v}=-(\vec{u}+\vec{b}_2)-\vec{b}_2=-\vec{u}-2\vec{b}_2.
Agora resolvemos essa igualdade para \vec{b}_2. Somando \vec{u} aos dois lados:
\vec{v}+\vec{u}=-2\vec{b}_2.
Dividindo por -2 (campo \mathbb{R}, divisão por escalar é válida):
\vec{b}_2=-\frac{\vec{v}+\vec{u}}{2}.

Passo 5

Calcule \vec{v}+\vec{u} usando as coordenadas canônicas fornecidas:
\vec{u}+\vec{v}=(7,-4)+(3,-2)=(7+3,\,-4-2)=(10,-6).

Passo 6

Substituindo em \vec{b}_2=-\dfrac{\vec{v}+\vec{u}}{2}:
\vec{b}_2=-\frac{(10,-6)}{2}=\left(-\frac{10}{2},\;-\frac{-6}{2}\right)=(-5,3).
Fiz passo a passo: dividi cada componente por 2 e depois coloquei o sinal negativo.

Passo 7

Interpretando a resposta em relação às alternativas: \vec{b}_2 tem segunda componente 3. A alternativa que mostra a segunda componente igual a 3 é a (E).

Resposta

(E) \displaystyle \begin{pmatrix}-5\\[2pt]3\end{pmatrix}]

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