Seja p \in \mathbb{N} um primo tal que p \nmid 10. Sendo b=r_{n} 10^{n}+r_{n-1} 10^{n-1}+\cdots+r_{1} 10+r_{0}, onde cada r_{i} é um inteiro tal que 0 \leq r_{i}<10, mostre que: p \mid b se, e somente se, existe \lambda \in \mathbb{Z} tal que: p \mid r_{n} 10^{n-1}+r_{n-1} 10^{n-2}+\cdots+r_{2} 10+r_{1}-\lambda r_{0}. Note que \lambda é qualquer inteiro tal que: 10 \lambda+1=k \cdot p ou 10 \lambda-1=k \cdot p.

Passo 1

O enunciado dá:
  • p\in\mathbb{N} é primo e p\nmid 10.
  • b=r_{n} 10^{n}+r_{n-1}10^{n-1}+\cdots+r_{1}10+r_{0} com 0\le r_i<10.
  • Definir S:=r_{n}10^{n-1}+r_{n-1}10^{n-2}+\cdots+r_{2}10+r_{1} (é a parte de b sem o último dígito multiplicada por 10, de modo que b=10S+r_{0}).
O que se pede: mostrar que
p\mid b\quad\text{se, e somente se, existe }\lambda\in\mathbb{Z}\text{ tal que }\;p\mid S-\lambda r_{0},
onde \lambda é qualquer inteiro que satisfaz uma das equalidades 10\lambda+1=k p ou 10\lambda-1=k p (ou seja, 10\lambda\equiv\pm 1\pmod p).

Passo 2

Primeiro, uma pequena aula sobre inversos módulo p e a existência de \lambda.
Explicação: como p\nmid 10, temos \gcd(10,p)=1. Isso implica que 10 é invertível módulo p: existe \mu\in\mathbb{Z} tal que 10\mu\equiv 1\pmod p. A existência segue do Lema de Bézout: existem inteiros u,v tais que 10u+pv=1, então \mu=u é inverso de 10 modulo p. A partir disso, também existe \lambda tal que 10\lambda\equiv-1\pmod p (basta tomar \lambda\equiv -\mu\pmod p). As equalidades lineares escritas no enunciado, 10\lambda\pm1 = kp, são exatamente a forma inteira das congruências 10\lambda\equiv\mp 1\pmod p.
Portanto: existe pelo menos um inteiro \lambda com 10\lambda\equiv-1\pmod p. (Isto será útil na prova.)

Passo 3

Reescrever b em função de S e reduzir módulo p.
Temos por definição
b=10S+r_{0}.
Reducindo módulo p, a condição p\mid b é equivalente a
10S+r_{0}\equiv 0\pmod p,
ou seja
10S\equiv -r_{0}\pmod p.

Passo 4

Prova da implicação direta: p\mid b\Rightarrow existe \lambda com a propriedade desejada.
Como visto no Passo 2, existe \lambda\in\mathbb{Z} tal que
10\lambda\equiv -1\pmod p,
ou equivalentemente 10\lambda+1=k p para algum inteiro k. Multiplicando a congruência 10S\equiv -r_{0}\pmod p por esse \lambda obtemos
(10\lambda)S\equiv -\lambda r_{0}\pmod p.
Usando 10\lambda\equiv -1\pmod p a esquerda fica -S, logo
-S\equiv -\lambda r_{0}\pmod p,
o que dá
S\equiv \lambda r_{0}\pmod p.
Portanto p\mid S-\lambda r_{0}. Assim, a partir de p\mid b encontramos \lambda (que satisfaz 10\lambda+1=k p) tal que p\mid S-\lambda r_{0}.

Passo 5

Prova da implicação recíproca: existe \lambda com 10\lambda\equiv -1\pmod p e p\mid S-\lambda r_{0}\Rightarrow p\mid b.
Suponha que exista \lambda\in\mathbb{Z} tal que 10\lambda+1=k p (ou, em congruência, 10\lambda\equiv -1\pmod p) e que p\mid S-\lambda r_{0}. A congruência p\mid S-\lambda r_{0} significa S\equiv\lambda r_{0}\pmod p. Multiplicando por 10 obtemos
10S\equiv 10\lambda r_{0}\pmod p.
Pela escolha de \lambda, 10\lambda\equiv -1\pmod p, logo
10S\equiv -r_{0}\pmod p.
Somando r_{0} aos dois lados resulta 10S+r_{0}\equiv 0\pmod p, isto é p\mid b. Portanto a existência de tal \lambda com p\mid S-\lambda r_{0} implica p\mid b.

Passo 6

Comentário sobre o caso 10\lambda\equiv 1\pmod p.
O enunciado permite também tomar \lambda que satisfaça 10\lambda-1=k p (ou seja 10\lambda\equiv 1\pmod p). Se alguém escolher \lambda com 10\lambda\equiv 1\pmod p, a condição equivalente para obter p\mid b passa a ser p\mid S+\lambda r_{0} (veja o mesmo cálculo trocando sinais). Porém, como já observado, existe sempre uma \lambda com 10\lambda\equiv-1\pmod p (basta pegar a negativa do inverso de 10 módulo p), então a forma dada no enunciado (com o sinal menos) é suficiente — e as duas formas 10\lambda\pm1=k p apenas registram as duas congruências possíveis 10\lambda\equiv\mp1\pmod p.

Resposta

A equivalência é verdadeira. Escolhendo \lambda tal que 10\lambda\equiv-1\pmod p (ou seja 10\lambda+1=k p), tem-se
p\mid b\iff p\mid S-\lambda r_{0},
onde S=r_{n}10^{n-1}+\cdots+r_{1}. As condições 10\lambda+1=k p ou 10\lambda-1=k p são exatamente as formas inteiras das congruências 10\lambda\equiv\mp1\pmod p.

Exercícios relacionados