Seja
um primo tal que
. Sendo
, onde cada
é um inteiro tal que
, mostre que:
se, e somente se, existe
tal que:
. Note que
é qualquer inteiro tal que:
ou
.
Passo 1
O enunciado dá:
-
é primo e . -
com . - Definir
(é a parte de sem o último dígito multiplicada por , de modo que ).
O que se pede: mostrar que
onde
é qualquer inteiro que satisfaz uma das equalidades
ou
(ou seja,
).
Passo 2
Primeiro, uma pequena aula sobre inversos módulo
e a existência de
.
Explicação: como
, temos
. Isso implica que
é invertível módulo
: existe
tal que
. A existência segue do Lema de Bézout: existem inteiros
tais que
, então
é inverso de
modulo
. A partir disso, também existe
tal que
(basta tomar
). As equalidades lineares escritas no enunciado,
, são exatamente a forma inteira das congruências
.
Portanto: existe pelo menos um inteiro
com
. (Isto será útil na prova.)
Passo 3
Reescrever
em função de
e reduzir módulo
.
Temos por definição
Reducindo módulo
, a condição
é equivalente a
ou seja
Passo 4
Prova da implicação direta:
existe
com a propriedade desejada.
Como visto no Passo 2, existe
tal que
ou equivalentemente
para algum inteiro
. Multiplicando a congruência
por esse
obtemos
Usando
a esquerda fica
, logo
o que dá
Portanto
. Assim, a partir de
encontramos
(que satisfaz
) tal que
.
Passo 5
Prova da implicação recíproca: existe
com
e
.
Suponha que exista
tal que
(ou, em congruência,
) e que
. A congruência
significa
. Multiplicando por
obtemos
Pela escolha de
,
, logo
Somando
aos dois lados resulta
, isto é
. Portanto a existência de tal
com
implica
.
Passo 6
Comentário sobre o caso
.
O enunciado permite também tomar
que satisfaça
(ou seja
). Se alguém escolher
com
, a condição equivalente para obter
passa a ser
(veja o mesmo cálculo trocando sinais). Porém, como já observado, existe sempre uma
com
(basta pegar a negativa do inverso de
módulo
), então a forma dada no enunciado (com o sinal menos) é suficiente — e as duas formas
apenas registram as duas congruências possíveis
.
Resposta
A equivalência é verdadeira. Escolhendo
tal que
(ou seja
), tem-se
onde
. As condições
ou
são exatamente as formas inteiras das congruências
.