Seja b \in \mathbb{N} tal que b=r_{n} 10^{n}+r_{n-1} 10^{n-1}+\cdots+r_{1} 10+r_{0}, onde cada r_{i} é um inteiro tal que 0 \leq r_{i}<10. Nestas condições mostre que:
7 \mid b se, e somente se, 7 \mid r_{n} 10^{n-1}+r_{n-1} 10^{n-2}+\cdots+r_{2} 10+r_{1}-2 r_{0}

Passo 1

O enunciado dá um número natural b escrito na base decimal como
b = r_{n} 10^{n} + r_{n-1} 10^{n-1} + \cdots + r_{1} 10 + r_{0},
com cada dígito r_{i} inteiro e 0 \le r_{i} < 10. A pergunta é mostrar a equivalência:
7 \mid b \quad\text{se, e somente se,}\quad 7 \mid r_{n} 10^{n-1}+r_{n-1} 10^{n-2}+\cdots+r_{2}10+r_{1}-2r_{0}.
Vou trabalhar com uma notação curta para a parte que aparece repetida: definirei
A := r_{n} 10^{n-1}+r_{n-1} 10^{n-2}+\cdots+r_{2}10+r_{1}.
Com isso o que precisamos provar equivale a
7\mid b \quad\Longleftrightarrow\quad 7\mid A - 2r_{0}.
A resolução verdadeira começa agora.

Passo 2

Reescrevendo b em função de A e r_{0}:
b = r_{n}10^{n}+\cdots+r_{1}10+r_{0} = 10\bigl(r_{n}10^{n-1}+\cdots+r_{1}\bigr)+r_{0} = 10A + r_{0}.
Isto é só recolher os termos: multiplicando A por 10 recuperamos todas as potências até 10^{n} menos a unidade, e depois somamos r_{0}.

Passo 3

Agora uso aritmética modular (congruências) mod 7. Uma regra simples diz que podemos reduzir coeficientes módulo 7. Note que
10 \equiv 3 \pmod{7},
porque 10-3=7 é múltiplo de 7. Aplicando essa redução à expressão de b obtemos, em congruências:
b = 10A + r_{0} \equiv 3A + r_{0} \pmod{7}.
Explicando devagar: dizer b \equiv 3A + r_{0} \pmod{7} significa que 7 divide b - (3A+r_{0}). Essa equivalência é válida porque substituir 10 por 3 muda o valor por um múltiplo de 7.

Passo 4

Queremos que 7 divida b, isto é b \equiv 0 \pmod{7}. Usando a congruência do passo anterior, isso é equivalente a
3A + r_{0} \equiv 0 \pmod{7}.
Ou seja,
3A \equiv -r_{0} \pmod{7}.
Aqui estou apenas reescrevendo 3A + r_{0} \equiv 0 como 3A \equiv -r_{0}.

Passo 5

Para transformar essa relação numa expressão envolvendo A - 2r_{0} precisamos “dividir” por 3 modulo 7. Isso é possível porque \gcd(3,7)=1, então 3 tem inverso multiplicativo módulo 7. Vou encontrar esse inverso: o número 5 é inverso de 3 modulo 7 porque
3\cdot 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}.
Portanto, multiplicando a congruência 3A \equiv -r_{0} \pmod{7} por 5 (o inverso de 3), obtemos
A \equiv -5r_{0} \pmod{7}.
Isto é permitido porque se x\equiv y\pmod{7} então kx\equiv ky\pmod{7} para qualquer k, e escolhemos k=5.

Passo 6

Calculemos -5r_{0} módulo 7. Note que -5 \equiv 2 \pmod{7} porque -5+7=2. Assim
-5r_{0} \equiv 2r_{0} \pmod{7}.
Portanto a congruência do passo anterior vira
A \equiv 2r_{0} \pmod{7},
que é equivalente a
A - 2r_{0} \equiv 0 \pmod{7}.
Em palavras: 3A + r_{0}\equiv 0\pmod{7} (que era equivalente a b\equiv0\pmod{7}) é equivalente a A-2r_{0}\equiv0\pmod{7}.

Passo 7

Juntando os passos: começando de 7\mid b obtemos b\equiv0\pmod{7}, que pelo passo 3 é equivalente a 3A+r_{0}\equiv0\pmod{7}; pelo passo 5 e 6 isso é equivalente a A-2r_{0}\equiv0\pmod{7}, ou seja 7\mid A-2r_{0}. As implicações são reversíveis (cada passo usou equivalências), logo temos a bicondicional desejada:
7\mid b \quad\Longleftrightarrow\quad 7\mid A-2r_{0},
o que, lembrando a definição de A, é exatamente
7\mid b \quad\Longleftrightarrow\quad 7\mid r_{n}10^{n-1}+r_{n-1}10^{n-2}+\cdots+r_{1}-2r_{0}.

Resposta

7\mid b \Longleftrightarrow 7\mid r_{n}10^{n-1}+r_{n-1}10^{n-2}+\cdots+r_{2}10+r_{1}-2r_{0}

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