Seja n \in \mathbb{N}. Mostre que:
\left(n+1, n^{2}+n+1\right)=1

Passo 1

O enunciado dá n\in\mathbb{N} e pede para mostrar que \left(n+1, n^{2}+n+1\right)=1.
Informações relevantes:
  • Dois números inteiros a e b têm máximo divisor comum denotado por (a,b).
  • Queremos provar que o maior divisor comum entre n+1 e n^{2}+n+1 é 1.

Passo 2

Lembrete útil (definição e propriedade básica de divisibilidade).
  • Dizemos que um inteiro d divide um inteiro a se existe inteiro k tal que a = dk. Escreve-se d\mid a.
  • Propriedade importante: se d\mid a e d\mid b, então d divide qualquer combinação linear inteira ra + sb (com r,s\in\mathbb{Z}). Isto é, d\mid(ra+sb). Vou usar essa propriedade logo a seguir. Expliquei porque: se a= d k_1 e b=d k_2, então ra+sb=d(rk_1+sk_2), um múltiplo de d.

Passo 3

Calcule a combinação linear simples que conecta os dois números dados. Faça a subtração
n^{2}+n+1 - n(n+1).
Desenvolvendo n(n+1) obtemos n^2+n. Então
n^{2}+n+1 - n(n+1) = n^{2}+n+1 - (n^{2}+n) = 1.
Portanto encontramos a identidade inteira
n^{2}+n+1 - n(n+1)=1.

Passo 4

Use a identidade com a propriedade de divisibilidade. Seja d qualquer divisor comum de n+1 e n^{2}+n+1. Então d\mid (n+1) e d\mid (n^{2}+n+1). Pela propriedade de combinações lineares, d divide
(n^{2}+n+1) - n(n+1),
mas pela Passo 3 esse número é 1. Logo d\mid 1.

Passo 5

Conclua sobre d. Se um inteiro d divide 1, então d=\pm1. Como estamos falando de divisores positivos ao considerar o máximo divisor comum, qualquer divisor comum positivo deve ser 1. Assim o maior divisor comum entre n+1 e n^{2}+n+1 é 1.

Passo 6

(Argumento alternativo curto, equivalente, via algoritmo de Euclides) Ao dividir n^{2}+n+1 por n+1 nota-se que n\equiv -1\pmod{n+1}. Substituindo,
n^{2}+n+1 \equiv (-1)^{2}+(-1)+1 = 1 \pmod{n+1},
portanto o resto da divisão é 1. Pelo algoritmo de Euclides isso implica \left(n+1, n^{2}+n+1\right)=\left(n+1,1\right)=1. Mesmo resultado, outra visão.

Resposta

\left(n+1, n^{2}+n+1\right)=1

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