Seja V=\mathbb{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}). Verifique se as matrizes são LI ou LD em cada um dos casos:
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}0 & 3 \\\\ 1 & 0\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ll}4 & 6 \\\\ 2 & 8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto formado pelas três matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt]0 & 2\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0 & 3 \\[6pt]1 & 0\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}4 & 6 \\[6pt]2 & 8\end{pmatrix}
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) em V = \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}).
Para isso, vamos usar a definição: são LD se existem escalares não todos nulos \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha A + \beta B + \gamma C = 0.]

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica e igualamos à matriz nula:
\alpha\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]0 & 2\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0 & 3 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}4 & 6 \\[4pt]2 & 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Igualando entradas correspondentes, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + 4\gamma = 0,\\\\ 3\beta + 6\gamma = 0,\\\ \beta + 2\gamma = 0,\\\\ 2\alpha +8\gamma = 0. \end{cases}

Passo 4

Note que a última equação é 2(\alpha+4\gamma)=0, igual à primeira. Das duas do meio tiramos
\beta +2\gamma =0\quad\Longrightarrow\quad \beta=-2\gamma,
e da primeira ou da quarta
\alpha +4\gamma =0\quad\Longrightarrow\quad \alpha=-4\gamma.
Como podemos escolher \gamma\neq0, há solução não trivial.

Passo 5

Isso mostra que \{A,B,C\} é LD. Em particular, tomando \gamma=1, fica
-4\,A\;-\;2\,B\;+\;1\cdot C \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad C = 4\,A + 2\,B.

Passo 6

Para reforçar, note que o par \{A,B\} é LI, pois da combinação \alpha A + \beta B =0 vêm \alpha=0 pela entrada (1,1) e \beta=0 pela (1,2).

Resposta

O conjunto \{A,B,C\} é linearmente dependente, com a relação
C = 4\,A + 2\,B.
Além disso, qualquer par dentre A,B,C (por exemplo \{A,B\}) é linearmente independente.

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