Seja V=\mathbb{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}). Verifique se as matrizes são LI ou LD em cada um dos casos:
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 3 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial V = \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) e nos dá duas matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 2\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 2\\[6pt]3 & 1\end{pmatrix}.
Queremos verificar se o conjunto \{A,B\} é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD), usando a definição: \{A,B\} é LI se a única solução de
c_1 A + c_2 B = 0
é c_1=c_2=0.]

Passo 2

Escrevemos a combinação linear igual à matriz zero:
c_1\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Isso gera um sistema de equações correspondendo a cada entrada.]

Passo 3

Da posição (1,1) vem
c_1\cdot1 + c_2\cdot0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_1 = 0.
Da posição (1,2) vem
c_1\cdot0 + c_2\cdot2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\,c_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_2 = 0.

Passo 4

Verificamos as outras duas entradas apenas para consistência:
posição (2,1): 0\cdot c_1 + 3\,c_2 = 0 0=0 quando c_2=0.
posição (2,2): 2\,c_1 + 1\,c_2 = 0 0=0 quando c_1=c_2=0.

Passo 5

O único par (c_1,c_2) que satisfaz todas as equações é (0,0). Portanto não há combinação não trivial que zere as duas matrizes.

Resposta

As matrizes A e B são linearmente independentes.

Exercícios relacionados