Sejam V=\mathbb{R}^{3} e v_{1}=(2,1,0). Encontre o subespaço gerado por v_{1}, ou seja \left[v_{1}\right].

Passo 1

O enunciado está em \mathbb{R}^3 e nos dá o vetor v_1=(2,1,0). Queremos encontrar o subespaço gerado por v_1, denotado por \bigl[v_1\bigr], ou seja, todos os vetores que podem ser obtidos como múltiplos de v_1.

Passo 2

Lembrando a definição, o subespaço gerado por um único vetor v_1 é
\bigl[v_1\bigr] = \bigl\{\alpha\,v_1 \mid \alpha\in\mathbb{R}\bigr\}.
Isso corresponde a uma reta passando pela origem na direção de v_1.

Passo 3

Aplicando essa definição ao nosso vetor, temos
\bigl[v_1\bigr] = \bigl\{\alpha\,(2,1,0)\mid \alpha\in\mathbb{R}\bigr\}.

Passo 4

Podemos escrever explicitamente em coordenadas:
\bigl[v_1\bigr] = \bigl\{(2\alpha,\;\alpha,\;0)\mid \alpha\in\mathbb{R}\bigr\},
ou, de forma mais compacta,
\{(2t,\,t,\,0)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Resposta

\bigl[v_1\bigr] = \{\,(2t,\,t,\,0)\mid t\in\mathbb{R}\}.

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